Solution des exercices

Exercices du chapitre 1

Exercice 1.1 Un ensemble contient des éléments distincts non ordonnés. Donc {x, x} et {x} désignent le même ensemble. De même : {x, y} = {y, x}. Mais combien y a-t-il d’éléments dans l’ensemble {x, y}? Solution : Si x est différent de y (ce qu’on pourrait croire avec une telle écriture), il y a deux éléments dans {x, y} Sinon, il n’y en a qu’un. ♢ Exercice 1.2 Combien y a-t-il de voyelles? Solution : Cela dépend de la langue, bien sûr, mais aussi du codage. Ainsi en français il y a les voyelles a,e,i,o,u,y soit 6 voyelles mais si on compte les lettres accentuées comme éê... il y en a plus. Comme quoi tout est une question de définition. ♢ Exercice 1.3

Soit D l’ensemble des nombres entiers de 0 à 10, D^{∗} l’ensemble des nombres entiers de 1 à 10, D^{∗∗} l’ensemble des nombres entiers strictement positifs entre -1 à 10, D_{P} l’ensemble des nombres pairs dans D, D_{I} l’ensemble des nombres impairs dans D, D_{P}^{∗} l’ensemble des nombres pairs dans D^{∗}. Donner toutes les relations possibles entre ces ensembles pour l’inclusion ⊆. Comment faire pour n’en oublier aucune?

Solution :

Commençons par donner explicitement ces ensembles.

D_{I} = { 1, 3, 5, 7, 9 }
D_{P}^{∗} = { 2, 4, 6, 8, 10 }
D_{P} = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } = D_{P}^{∗} ∪ {O}
D^{∗} = { 1, 2...10 }  = D_{I} ∪ D_{P}^{∗}
D = { 0, 1...10 }  = D^{∗} ∪ {O}

Pour être sûr de ne pas oublier de relation, le mieux est de constuire un tableau (dit produit cartésien). Il faut éventuellement faire attention à l’ordre des éléments dans ce tableau pour que ce soit facile à lire.

On peut se dispenser de D^{∗∗} car D^{∗∗} = D^{∗} bien que leur définition ”humaine” ne soit pas la même. Nous livrons ce tableau tel quel :

⊆  D_{I}  D_{P}^{∗}  D_{P}  D^{∗}  D
D_{I}  X  X  X
D_{P}^{∗}  X  X  X  X
D_{P}  X  X
D^{∗}  X  X
D  X

♢

Exercice 1.4

Pour E = { a, b, c } donner P(E) et P( P(E) ).

Solution :

E a 3 éléments, donc P(E) a 2^{3} soit 8 éléments, à savoir Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} et {a, b, c}.

P( P(E) ) a 2^{8} soit 256 éléments, et nous ne voulons donc pas tous les lister. Donnons seulement les plus petits éléments : Ø, {Ø}, { {a} }, { {b} }, { {c} }, { {a}, {b, c} }...

♢

Exercice 1.5

Montrer que toute union d’ensembles peut être rendue disjointe.

Solution :

Montrons que A ∪ B peut être rendue disjointe. On pourra ensuite appliquer cette décomposition à A ∪ B ∪ C ∪ D.... Paraphrasant ”les éléments dans A ou B sont dans A ou exactement dans B sans être dans A” nous pouvons écrire A ∪ B = A ⊔ (B\A). La décomposition la plus fine et symétrique serait (A ∩ B) ⊔ (A\A ∩ B) ⊔ (B\B ∩ A).

♢

Exercice 1.6

Soit E l’ensemble des entiers de 1 à 10 et X_{i} l’ensemble { i, i + 1, i + 2}. La famille { X_{1}, X_{3}, X_{6}, X_{8} } est-elle un recouvrement de E ? une partition de E ?

Trouver toutes les familles { X_{j} } qui sont une partition de E.

Solution :

Détaillons les ensembles utilisés

\begin{aligned}X_{1} & = & \{ 1, 2, 3 \} \\ X_{3} & = & \{ 3, 4, 5 \} \\ X_{6} & = & \{ 5, 6, 7 \} \\ X_{8} & = & \{ 8, 9, 10 \} \end{aligned}

De façon ”évidente”, tous les éléments de E sont dans un X_{i} donc les X_{i} forment un recouvrement de E. Ce n’est pas une partition car par exemple X_{1} et X_{3} n’ont pas une instersection nulle. Aucune famille de X_{i} ne peut être une partition car il faut inclure X_{1} à cause de l’élément 1, il faut inclure X_{3} à cause de l’élément 4, et ces ensembles ont l’élément 3 en commun. Par contre, on peut construire la partition en 3 trois-ensembles

{ X_{1}, (X_{3} ∪ X_{6})\(X_{1} ∪ X_{8}), X_{8} }

4 ♢ Exercice 1.7 Compléter le tableau suivant où A, B, C et E sont des ensembles avec A ⊂ E, B ⊂ E et C ⊂ E^{∗}, et où X désigne soit A, soit B, soit C:

Ø ∩ E =

Ø ∪ E =

A ∪ E =

X ∩ E =

(X ∩ B) ∪ C =

Solution : Voici le tableau complété. On pourrait simplifier X ∩B en B lorsque X = B.

\begin{aligned}Ø ∩ E & = & Ø \\ Ø ∪ E & = & E \\ A ∪ E & = & E \\ X ∩ E & = & X \\ (X ∩ B) ∪ C & = & (X ∩ C) ∪ (B ∩ C) \\ ∁_{E} (A ∩ B) & = & ∁_{E} (A) ∪ ∁_{E} (B) \end{aligned}

∗ ce qui ne signifie aucunement que les seuls sous-ensembles de E sont A, B et C.

♢

Exercice 1.8

Soient c une variable qui correspond au mot ”clé”, b une variable qui correspond au mot ”bureau” et f la fonction ”ouvre” qui s’interprète comme suit : f(c, b) signifie ”la clé c ouvre le bureau b”. Traduire en langage naturel la formule

∃ c ∀ b f(c, b)

Donner sa négation en formule et en langage naturel. Donner aussi l’interprétation des formules

∀ b ∃ c f(c, b)
∃ b ∀ c ¬f(c, b)

Solution :

L’énoncé ∃ c ∀ b f(c, b) signifie qu’il y a une clé qui ouvre tous les bureaux, c’est à dire ”il existe un passe-partout des bureaux”. Sa négation est bien sûr ”il n’existe pas de passe-partout”, soit encore ”quelque soit la clé, il y a (au moins) un bureau qui ne peut pas être ouvert par cette clé”, d’où l’énoncé ∀ c ∃ b ¬f(c, b).

La formule ∀ b ∃ c f(c, b) signifie que ”pour tout bureau, on a au moins une clé qui l’ouvre” et ∃ b ∀ c ¬f(c, b) peut se lire ”il y a au moins un bureau qui ne peut pas être ouvert par toutes les clés”.

♢

Exercice 1.9

Quels sont les éléments de E x P(E) ?

Solution :

Ce sont des couples formés en partie gauche d’un élément de E et en partie droite d’un sous-ensemble de E. Par exemple, si a, b, c sont dans E ce pourrait être (a, {a}), (a, {b, c})...

♢ Exercice 1.10 Trouver trois interprétations de f(x) comme résultat de l’application d’une fonction. Ecrire f comme un triplet. Solution : Premièrement, ce peut être le résultat en x de la fonction f : E → F, x ↦ f(x). Deuxièmement, ce peut être le résultat en f de la fonction g: F → F, f ↦ f(x) pour x fixé. Troisièmement, ce peut être le résultat en (x, f) de la fonction g: E x F → F, (x, f) ↦ f(x) pour x fixé. f est donc le triplet f = (E, F, x → f(x). ♢ Exercice 1.11 Un coup de vent malencontreux (!) a perturbé les exemples et contre-exemples des définitions suivantes. Retrouvez les propriétés pour chacune des lignes proposées. Fonction croissante : ∀ x, y ∈ E ; x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)

x → ax + b

x → 1/x

Fonction minorée : ∃ p ∀ x ∈ E : p ≤ f(x)

x → x

x → x^{2}

Fonction injective : f(x) = f(y) ⇒ x = y x → x + 1

x → x^{4}

Fonction surjective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x)

x → x^{2} de IN dans IN

x → x^{2} de lR dans lR^{+}

Fonction bijective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x) et x unique x → x^{3}

x → sin(x) de lR dans lR

Fonction à point fixe : ∃ t ∈ E ; t = f(t)

x → 2x − 1/2

x → 1 + x

Limite b de f en a : ∀ ε > 0∃ η > 0; |x − a| < η ⇒ |f(x) − b| < ε x → log(x)

x → (x − 1)(x + 1)/(x^{6} − 1) en x = −1

Solution : Nous indiquons par E l’exemple et par C le contre-exemple. Il est parfois nécessaire de rajouter une valeur (minorant, point fixe etc.) et nous fournissons alors cette valeur. Fonction croissante : ∀ x, y ∈ E ; x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)

E: x → ax + b pour a > 0

C: x → 1/x

Fonction minorée : ∃ p ∀ x ∈ E : p ≤ f(x)

E: x → x^{2} avec p = 0

C: x → x

Fonction injective : f(x) = f(y) ⇒ x = y E: x → x + 1

C: x → x^{4}

Remarque : l’inclusion f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) devient alors une égalité. Fonction surjective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x)

E: x → x^{2} de lR dans lR^{+}

C: x → x^{2} de IN dans IN

Fonction bijective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x) et x unique E: x → x^{3}

C: x → sin(x) de lR dans lR

Fonction à point fixe : ∃ t ∈ E ; t = f(t)

E: 1/2 pour x → 2x − 1/2

C: x → 1 + x

Limite b de f en a : ∀ ε > 0∃ η > 0; |x − a| < η ⇒ |f(x) − b| < ε

E: log(a) partout (!) pour x → log(x)

E: (x − 1)(x + 1)/(x^{6} − 1) se simplifie en 1/(x^{4} + x^{2} + 1) et vaut donc

1/3 en x = −1

♢

Exercices du chapitre 2

Exercice 2.1

Soit P et Q deux polynomes de degré respectif α et β. Que peut-on dire du degré de P + Q et P Q?

Solution :

Le produit p_{α}X^{α}.q_{β}X^{β} = p_{α}q_{β}X^{α+β} étant non nul, si deg désigne la fonction degré, deg(P Q) = deg(P) + deg(Q). Par contre on peut pas faire mieux que deg(P +Q) ≤ deg(P)+deg(Q). On peut s’en convaincre en prenant Q = −P.

♢

Exercice 2.2

On utilise la notation ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} pour abréger l’écriture a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n}.

Comment noterait-on a_{n}X^{n}+a_{1}X+a_{0} ? et a_{0}X^{n}+a_{1}X^{n−1}+...+a_{n−1}X+a_{n} ? Y a -t-il un intérêt à écrire les puissances par ordre croissant ou par ordre décroissant? Utiliser ∑ pour écrire formellement P Q et a^{n} − b^{n}.

Solution :

a_{n}X^{n} + a_{1}X + a_{0} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} = ∑_{i=0}^{n} a_{n−i}X^{n−i}.

a_{0}X^{n} + a_{1}X^{n−1} + ... + a_{n−1}X + a_{n} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{n_{i}}.

Ecrire par ordre croissant évite les surprises et permettrait d’utiliser la même lettre pour les constantes, pour le degré 1 etc. Ce n’est malheureusement pas l’habitude qui a été prise. Ecrire par ordre décroissant met en évidence le terme dominant, c’est à dire la plus grande puissance.

Si P = ∑_{i=0}^{α} a_{i}X^{i} et Q = ∑_{j=0}^{β} b_{i}X^{i} alors P Q = ∑_{k=0}^{α+β} c_{i}X^{i} avec c_{k} = ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j},

soit, de façon plus explicite c_{k} = ∑_{i=0}^{k} a_{i}b_{k−i}; a^{n} − b^{n} = (a − b) ∑_{i=0}^{n−1} a^{n−i−1}b^{i}

♢ Exercice 2.3 Comment retrouve-t-on les valeurs de r_{1} et r_{2}, racines de l’équation du second degré? En déduire une factorisation de X^{4} + 1. Quel est le rapport entre a, b et c et s = r_{1} + r_{2} p = r_{1}r_{2}? Solution : Posant Δ = b^{2} − 4ac, on a r_{1} = (−b + \sqrt{Δ})/2a et r_{2} = (−b + \sqrt{Δ})/2a. Alors s = −b/a et p = c/a.

Dans le cas général, si P = ∑_{i=0}^{α} a_{i}X^{i} et si les ρ_{j} sont les racines, alors on a ∑ ρ_{j} = −a_{1}/a_{0} et ∏ ρ_{j} = (−1)^{n}a_{n}/a_{0} ♢ Exercice 2.4 Factoriser X^{3} + X^{2} − 2X. Factoriser X^{2} + X + γ sachant que X = 3 est racine. Solution : Pour X = 0, X^{3} + X^{2} − 2X vaut 0, ce qui signifie que 0 est racine. Donc on peut écrire X^{3} + X^{2} − 2X = XQ. Posant Q = aX^{2} + bX + c, en développant et identifiant, on trouve Q = X^{2} +X −2 et en factorisant Q, X^{3} +X^{2} −2X = X(X + 2)(X − 1). Si X = 3 est solution de X^{2} + X + γ = 0 alors X^{2} + X + γ = (X − 3)(X − a). Par identification, −3 − a = 1 et 3a = γ. D’où, si γ = −12, X^{2} + X + γ = (X − 3)(X + 4) ; si γ est différent de -12, pas de solution. ♢ Exercice 2.5 Utiliser gnuplot pour tracer x → x^{4} − 7x^{3} + 1 et en trouver les racines. Si on ne dispose pas de système de tracé, comment peut-on encadrer les racines de façon précise?

Solution :

Avec Gnuplot, un premier tracé entre -2 et 8 permet de voir qu’il doit y avoir une solution entre 0 et 1 et une seconde entre 6 et 8 (en fait, un peu avant 7).

Avec les instructions suivantes

#Fichier exo2.5 pour Gnuplot set xrange [-1:2] set yrange [-1:2] f(x) = x**4-7*x**3+1 plot f(x)

Gnuplot donne le tracé suivant.

-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100-2  0  2  4  6  8

Si on ne dispose pas de système de tracé, on utilise la technique de dichotomie: pour f continue, si f(a)f(b) < 0 alors il y a une valeur entre a et b qui annule f. Donc on essaie avec m = (a + b)/2 et on remplace ensuite soit a soit b par m et on recommence...

Ainsi f(0) =1, f(1) = -5. Puisque f(0,5) =0.1875 on cherche une solution entre 0,5 et 1. Puisque f(0,75) = -1.64, la solution doit être entre 0,5 et 0,75. On pourrait même arriver à la valeur 0.5368487 comme approximation de la première solution positive.

Avec Gnuplot, en restreignant via xrange [-1:2] on voit effectivement que la solution est au voisinage de 0,5 :

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1  -0.5  0  0.5  1  1.5  2

♢ Exercice 2.6 Donner les différentes écritures de 1 + i, i, −1 et 3 + 5i\sqrt{2}. Solution : 1 + i = \sqrt{2}e^{iπ/4}, i = e^{iπ/2}, -1 = e^{iπ}, 3 + 5i\sqrt{2} = \sqrt{59}e^{iα} où tg(α) = 5\sqrt{2}/3. ♢ Exercice 2.7 Retrouver cos(a + b) en fonction de sin(a), sin(b), cos(a), cos(b) grâce à l’identité e^{ia}e^{ib} = e^{i(a+b)}. Solution : En identifiant les parties réelles terme à terme, après développement, on trouve cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b). ♢ Exercice 2.8 Discuter le nombre et le signe des racines de l’équation αx^{2}+x+μ en fonction des nombres réels α et μ.

Solution :

Si α = 0, l’équation se réduit à x + μ = 0 qui admet toujours la solution x = −μ. Pour α non nul, il s’agit d’une équation du second degré. Δ vaut 1 − 4αμ. Pour Δ négatif, les solutions sont complexes et la question de leur signe n’a aucun sens. Pour Δ positif, il y a deux solutions réelles. Leur signe peut être quelconque ; on pourra s’en convaincre en considérant les équations (X + a)(X − (a − 1)) pour a quelconque.

♢

Exercice 2.9

Calculer les racines de P = x^{4}+1 = 0 et en regroupant les racines conjuguées, retrouver la factorisation de P.

Solution :

x^{4} = −1 = 1^{4}ρ^{4}e^{iπ/4} donc on a 4 solutions, à savoir ρ_{1} = e^{iπ/4} = a + ib, ρ_{2} = e^{3iπ/4} = −a + ib, ρ_{3} = e^{5iπ/4} = −a − ib, ρ_{4} = e^{7iπ/4} = a − ib pour a = cos(π/4) = 1/\sqrt{2} et b = sin(π/4) = 1/\sqrt{2}.

Comme ρ_{1} et ρ_{4} sont conjugués, (x − ρ_{1})(x − ρ_{4}) = x^{2} − x\sqrt{2} + 1 et donc x^{4} + 1 = (x^{2} − x\sqrt{2} + 1)(x^{2} + x\sqrt{2} + 1). On aurait pu aussi essayer d’écrire x^{4} + 1 comme le début du carré de (x^{2} + 1), retrancher le terme en trop (2x^{2}) et factoriser en utlisant l’identité a^{2} − b^{2}.

♢

Exercice 2.10

Tracer effectivement les racines n-ièmes de l’unité pour n de 1 à 5.

Avec cette méthode, à partir de quel n voit-on un cercle plutôt qu’un polygone régulier?

Solution :

Les racines n-ièmes de l’unité sont situées sur le cercle-unité (le cercle de centre (0,0) et de rayon). Ces racines sont équidistantes les unes des autres et si on les relie, on obtient un polygone régulier de n inscrit dans ce cercle. Puisque (1 + 0i)^{n} = 1, le point (1, 0) est toujours solution.

-2^{-1.5}^{-1}^{-0.5}^{0}^{0.5}^{1}^{1.5}^{2}^{-2} ^{-1.5} ^{-1} ^{-0.5} ^{0} ^{0.5} ^{1} ^{1.5} ^{2} • Pour n = 1, le point solution est (1, 0) (c’est une solution pour tout n).  ^{^{-2}^{-1.5}^{-1}^{-0.5}^{0}^{0.5}^{1}^{1.5}^{2}^{-2} ^{-1.5} ^{-1} ^{-0.5} ^{0} ^{0.5} ^{1} ^{1.5} ^{2} • •} Pour n = 2, les points-solutions sont (1, 0) et (−1, 0).^{^{-2}^{-1.5}^{-1}^{-0.5}^{0}^{0.5}^{1}^{1.5}^{2}^{-2} ^{-1.5} ^{-1} ^{-0.5} ^{0} ^{0.5} ^{1} ^{1.5} ^{2} • • •} Avec n = 3 on a un joli trianglé equilatéral. Pour que le polygone régulier à n cotés ressemble à un cercle, il faut prendre n ≥ 20 (après essai sur ordinateur).  ^{^{-2}^{-1.5}^{-1}^{-0.5}^{0}^{0.5}^{1}^{1.5}^{2}^{-2} ^{-1.5} ^{-1} ^{-0.5} ^{0} ^{0.5} ^{1} ^{1.5} ^{2} • • • •  •} Et pour n = 4 un carré.

♢

Exercices du chapitre 3

Exercice 3.1 Donner le domaine de définition des fonctions suivantes de lR dans lR :

\begin{aligned}f_{1} & : x → 1/(x^{2} − 1) \\ f_{2} & : x → 1/\sqrt{(x^{2} − 1)} \\ f_{3} & : x → 1/log( \sqrt{(x^{2} − 1)} ) \end{aligned}

Solution : Pour f_{1} il faut x^{2} − 1 non nul soit x ∉ {−1, 1}, c’est à dire, sous forme d’intervalle, [−∞, −1[∪] − 1, 1[∪]1, +∞[. Pour f_{2} il faut x^{2} − 1 ≥ 0 et \sqrt{x^{2} − 1} non nul soit x ∉ [−1, 1], c’est à dire [−∞, −1[∪]1, +∞[ sous forme d’intervalle. Pour f_{3} il faut x^{2}−1 ≥ 0, \sqrt{x^{2} − 1} > 0 et log(\sqrt{x^{2} − 1} non nul soit x ∉ [−1, 1] et \sqrt{x^{2} − 1} ≠ 1, c’est à dire [−∞, −1[∪]1, +∞[ sous forme d’intervalle. Un tracé rapide de ces courbes donne les figures suivantes

0 20 40 60 80 100-15  -10  -5  0  5  10  15
Tracé de f_{1}

-4 -2 0 2 4-10  -5  0  5  10

Tracé de f_{2}

-4 -2 0 2 4-10  -5  0  5  10
Tracé de f_{3}

♢ Exercice 3.2

Donner le domaine de définition et le domaine d’étude des fonctions suivantes de lR dans lR :

\begin{aligned}g_{1} & : x → 1/sin( x^{2} − 1 ) \\ g_{2} & : x → log( x^{2} − 3x + 2 ) \end{aligned}

Solution :

L’étude de u → sin(u) se restreint à l’intervalle [0, 2π] pour u. Ici u vaut x^{2}−1 donc on doit se restreindre à l’intervalle [1, \sqrt{2π + 1} avec x ∉ \{−1, +1\}. Un tracé rapide de ces courbes donne les figures suivantes.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20  -4  -2  0  2  4
Tracé de g_{1}

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20  -4  -2  0  2  4
Tracé de g_{2}

♢ Exercice 3.3 Calculer les limites suivantes

limite en 1 de x → (x^{3} − 1)/(x − 1)
limite en ∞ de x → x − \sqrt{x^{2} + 1}

Que penser des fonctions x → |x| et x → sin(x)/x (à cause du point x = 0)? Solution : Si x tend vers 1, x est différent de 1 et on peut donc simplifier par x − 1 la première expression proposée ; il reste alors x^{2} + x + 1 qui est une fonction continue et dont la limite en 1 est 3. ♢ Exercice 3.4 Calculer la limite en 0 de x → sin(x)/x. Calculer la dérivée de x → \frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} . Quelle est la tangente en π/4 de la courbe de x → 1 + log( |sin(x/2) |)? Solution :

♢ Exercice 3.5 Etudiez les fonctions x → x^{x} et x → (\frac{x}{x − 1})^{x}.

Solution :

♢ Exercice 3.6 Donner le domaine de définition de tg : x → sin(x)/cos(x). Etudiez la fonction x → e^{−x}sin(x). Solution :

♢ Exercice 3.7 Quel est la liaison entre sin^{2} et cos^{2}? Trouver une formule analogue pour ch^{2} et sh^{2}. Quelle est la dérivéee de th en fonction de ch?

Quelle est la dérivéee de Arcsin? Montrez que Argch et Argsh s’écrivent sous la forme log( x + \sqrt{T (x)} ) où T est un polynome en x. Montrez que Argth s’écrit sous la forme log( S(x))/2 où S est le rapport de deux polynomes en x. Solution :

♢

Exercices du chapitre 4

Exercice 4.1 Donner les dérivées successives de sin; en déduire les premiers termes du dl de sin. Même question pour log et exp. Solution :

♢ Exercice 4.2 Montrer que D n’est pas multiplicative, c’est à dire que D(fg) ≠ D(f)D(g). Solution :

Trouver une primitive de 1/(1 + x^{2})^{2} et de 1/(16x^{2} − 32x − 7). Trouver une primitive de 1/sin puis de sin^{3}. Solution :

♢ Exercice 4.4 Donner un primitive de 1/(x^{4} + 1) sachant qu’elle est combinaison linéaire des primitives des 1/(x − ρ_{i}) où les ρ_{i} sont les racines du polynome (x^{4} + 1). Solution :

♢ Exercice 4.5 Calculer la surface du rectangle et du trapèze rectangle ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 0  5  10  15  20  25

Solution :

♢ Exercice 4.6 Calculer par récurence en justifiant les passages à la limite à l’aide d’une intégration par parties

I_{n} = ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x}dx  et  J_{n} = ∫_{0}^{∞} dx/(1 + x^{2})^{n}

Solution :

♢ Exercice 4.7 Résoudre f′(x) = f(x)^{2}. Solution :

♢

Exercices du chapitre 5

Exercice 5.1 Etudier la convergence des suites arithmétiques et des suites géométriques. Solution :

♢ Exercice 5.2 Touver la forme compacte de la suite arithmético-géométrique définie par u(n) = au(n − 1) + b. Solution :

Résoudre u(n) = u(n−1)+u(n−2) nommé suite de F ibonacci sachant que la solution est aρ_{1}^{n} +bρ_{2}^{n} où ρ_{1} et ρ_{2} sont les racines de l’équation caractéristique associée : X^{2} = X + 1. Quel est l’ordre de grandeur de u(n)? Solution :

♢ Exercice 5.4 Dans le pire des cas pour la méthode de tri nommée QuickSort, le nombre L(n) de comparaisons dans le mode de découpage (”split”) vérifie la relation L(n) = L(n − 1) + n − 1. Quel est sa forme compacte? Solution :

♢ Exercice 5.5

Dans la méthode de tri nommée QuickSort, le nombre moyen F (n) de comparaisons vérifie la relation F (n) = n − 1 + (1/n) ∑ F (i − 1) + ∑ F (n − i) où àchaque fois les sommes sont prises pour i de 1 à n. Quel est son ordre de grandeur?

Solution :

♢

Exercice 5.6

En théorie des graphes, un ensemble indépendant est un ensemble de sommets dont aucune paire n’est reliée par une arête. Dans le pire des cas, le nombre de calculs pour trouver la taille du plus grand ensemble indépendant d’un graphe de n sommets est le nombre f(n) qui vérifie f(n) ≤ cn^{2} +f(n−1)+f(n−2). Quel est l’ordre de grandeur de f(n)?

Avec une optimisation classique, on aboutit aisément à la nouvelle inéquation f(n) ≤ cn^{2} + f(n − 1) + f(n − 3). Quel est le nouvel ordre de grandeur de f(n)?

Solution :

♢ Exercice 5.7 Combien faut-il de multiplications pour multiplier deux matrices de taille n? La méthode rapide de multiplications des matrices n’utilise que g(n) multiplications avec g(n) = 7g(n−1)+18.4^{n−1}. Y gagne-t-on vraiment quelquechose? Solution :

♢ Exercice 5.8 Montrer qu’effectivement la série de terme général 1/(n+1) ne converge pas. Vers quoi converge la série u_{n} = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} ? Solution :

♢ Exercice 5.9 Donner le développement en série entière de la fonction f : x → e^{−1/x^{2}}. Vers quoi converge la série de f? Retrouver le développement classique de exp, log, sin... Solution :

♢ Exercice 5.10 Donner la série de F ourier g de f où f(x) = sin(2x) Donner la transformée de F ourier g de f où f(x) = x^{2} pour x ∈ [0, 2π]. Donner la transformée de F ourier g de f où f(x) = x pour x ∈ [0, 2]. Solution :

♢ Exercice 5.11 Appliquer l’identité de P arseval à la fonction de l’exercice à l’une des fonctions de l’exercice précédent pour en déduire ∑ \frac{1}{n^{4}} . Solution :

♢