Gilles HUNAULT 2000

Rappels

mathématiques

Université d’Angers

” Il nous semble que, dans les ”grandes” nations surdéveloppées scientifiquement et techniquement où nous vivons, le premier devoir des mathématiciens, et de beaucoup d’autres, serait plutôt de fournir ce qu’on ne leur demande pas - à savoir des hommes capables de réfléchir par eux-mêmes, de dépister les arguments faux et les phrases ambigues, et aux yeux desquels la diffusion de la vérité importerait infiniment plus que, par exemple la Télévision planétaire en couleurs et en relief : des hommes libres, et non pas des robots pour technocrates. Il est tristement évident que la meilleure façon de former ces hommes qui nous manquent n’est pas de leur enseigner les sciences mathématiques et physiques, ces branches du savoir où la bienséance consiste, en premier lieu, à faire semblant d’ignorer jusqu’à l’existence de problèmes humains, et auxquelles nos sociétés hautement civilisées accordent, ce qui devrait paraitre louche, la première place. Mais même en enseignant les Mathématiques, on peut du moins essayer de donner aux gens le goût de la liberté et de la critique, et les habituer à se voir traités en êtres humains doués de la faculté de comprendre. ”

Roger GODEMENT, 1962,

Préface au Cours d’Algèbre chez Herman.

Table des matières

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Ensembles et Fonctions 3 1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Polynômes et équations 19 2.1 Polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Equations et Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Etude et tracé des Fonctions 25 3.1 Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Dérivées et intégrales 33 4.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5. Suites et Séries 39

5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Développements en séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Solution des exercices 45

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Chapitre 0. TABLE DES MATIÈRES

Introduction

Les mathématiques sont une science qui sert à calculer mais aussi à décrire. Elles reposent sur un langage formel, précis qu’il importe de maitriser pour savoir communiquer les résultats trouvés. Les conventions d’écriture qu’elles imposent sont à la fois arbitraires, restrictives et quasi-universelles. Elles permettent surtout de donner une précision quelconque (qui peut aller à l’infini puisqu’elles sont capables de définir leur propre auto-référence et leurs propres limites) et une normalisation de description : rigueur et clarté en sont donc les maîtres-mots.

Une première difficulté pour maitriser ce ”langage sans mot” est de s’abstraire d’une certaine réalité. Lorsqu’on dit que x désigne un ”objet”, par exemple un nombre entier, on fait référence à un nombre ”anonyme”, sans saveur, sans odeur, presque sans intérêt. Il ne devient remarquable qu’avec des propriétés, qu’elles soient positives (x vérifie...) ou négatives (x ne vérifie pas...). Il est donc ”dur” de connaitre ou de reconnaitre x avec si peu d’informations. Une deuxième difficulté est l’expérience. Il faut de l’entrainement, de l’habitude pour savoir décomposer, décortiquer une formule, pour emboiter des résultats intermédiaires en un théorème important. Le débutant, la débutante seront au début un peu perdu(e) dans la ”jungle”, le florilège des expressions mathématiques. Ainsi, une définition de la continuité d’une fonction f en a s’écrit

∀ε > 0∃η > 0 ; |x − a| < η ⇒ |f(x) − f(a)| < ε

Un habitué des mathématiques n’écrit pas cette formule de gauche à droite mais plutot de façon ”tordue”, commençant par |f(x) − f(a)| < ε pour traduire f(x) est proche de f(a) ce qui oblige à rajouter à l’extrême gauche ∀ε > 0. Cette proximité doit être déclenchée pour x proche de a soit à écrire |x − a| < η et pour que tout s’articule sous la forme Q ; X ⇒ F il faut mettre ∃η > 0 et l’implication ⇒ ”là où il faut”. Sur cet exemple, on voit l’adresse que requiert ce genre de formule pour être bien gérée, adresse qui ne vient qu’avec la pratique.

C’est pourquoi nous avons parsemé les définitions et exemples de nombreux (petits) exercices. Certains sont ”bêtes” c’est à dire qu’ils ne servent qu’à calculer en application directe des formules sus-citées. D’autres sont astucieux et demandent du ”bricolage”. Certains autres, enfin, risquent d’embrouiller un lecteur, une lectrice débutant(e) car ils sont là pour montrer jusqu’à quelle sophistication on peut arriver si on pousse au bout (ou au degré 2, au degré n) telle définition, tel calcul...

A la question fameuse ”Faut-il faire les exercices dans la foulée ou après avoir lu tout le chapitre?”^{∗} nous laissons une entière liberté de réponse. Par contre, nous ne donnons aucun problème, aucun prolongement détaillé des objets et structures employés. Nous renvoyons pour cela à des ouvrages de mathématiques plus traditionnels.

Au-delà des notations, des formules, notre grand souhait est qu’à la suite de la lecture de cet ouvrage, les lecteurs et lectrices sachent un peu mieux ce que sont les mathématiques même si on peut ”faire” ces mathématiques sans comprendre ce qu’elles sont. L’enjeu sous-jacent à une telle compréhension pourrait être de pouvoir apprécier à sa juste valeur l’Imaginaire Mathématique qui sous-tend de telles représentations, pour être mieux armé et mieux savoir se défendre dans un monde où la pseudo-scientificité d’un certain nombre d’arguments a force de loi, ce qui fait des mathématiques la ”Reine des Sciences” c’est à dire l’Esclavagiste Suprême dont l’Ordinateur et les Statistiques sont les accolytes zélés.

∗ Question qui exclut donc de ne pas faire les exercices.

Chapitre 1. Ensembles et Fonctions

Chapitre 1.

Ensembles et Fonctions

1.1 Ensembles

Les ensembles sont le premier type de structure que l’on manipule en mathématiques. Intuitivement, un ensemble est une ”collection”, un ”regroupement”. Mais seule une définition abstraite que les mathématiciens en donnent, via une axiomatisation rigoureuse aboutit à des paradoxes. Ainsi, ”un ensemble contient des éléments”, ”un ensemble ne peut pas être un élément de lui-même”, mais qu’est-ce alors que l’ensemble dont les éléments sont les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ? Arrivés à ce niveau de théorique (ou de rhétorique?) on est loin des calculs élémentaires que nous proposons ici.

La notation x ∈ E indique que x est élément de E. Classiquement, les éléments sont désignés par des lettres minuscules et les ensembles par des majuscules. Pour indiquer que E contient les éléments x, t et u seulement, on borne la liste x,t,u par des accolades, soit l’écriture E = {x,t,u}. L’ordre n’a aucune importance et donc E est aussi {x,u,t}. En particulier, nous manipulerons beaucoup des ensembles de nombres comme IN, lR et nous prendrons l’habitude d’ordonner les éléments des ensembles considérés.

Exercice 1.1

Un ensemble contient des éléments distincts non ordonnés. Donc {x,x} et {x} désignent le même ensemble. De même : {x,y} = {y,x}. Mais combien y a-t-il d’éléments dans l’ensemble {x,y}?

♢ Même s’il est un peu ”surprenant” d’écrire E = {x,y,x,x}, cette notation est correcte et se réduit à E = {x,y}. Ce genre d’écriture arrive lorsque qu’on construit automatiquement des ensembles, par exemple avec un programme informatique.

Lorsqu’on veut définir un ensemble, on peut donner la liste de ses éléments, s’il y en a peu (définition en extension) comme pour E = {6,28,496} ou par une propriété remarquable (définition en compréhension) comme pour F = {x; x ∈ lR et x est pair, inférieur à 20}. Enfin, dans certains cas,”on s’accorde à penser” que tout le monde comprend le mode de formation de l’ensemble considéré et on n’en donne que les les premiers éléments comme par exemple {2,4,6,8...}.

Exercice 1.2

Combien y a-t-il de voyelles?

♢

Si un ensemble E contient tous les éléments d’un ensemble F, on dit que F est inclus dans E, noté F ⊂ E et on invente l’égalité de deux ensembles par la formule E = F ⇔ F ⊂ E et E ⊂ F. Si besoin est, on détaille ⊂ en ⊆ et ⊊. Un ensemble peut ne rien contenir : on note Ø l’ensemble ne contenant aucun élément qu’on nomme ensemble vide. Un ensemble peut aussi contenir des ensembles : si A = {x,y} et B = {x} alors l’ensemble E = {A,B} est en fait l’ensemble E = { {x,y}, {x} }. Ainsi pour E donné, l’ensemble P(E) défini par A ∈ P(E) ⇔ A ⊆ E est l’ensemble de tous les sous-ensembles de E, nommé puissance de E ou ensemble des parties de E. On notera qu’il est équivalent d’écrire ”x ∈ E”, ”{x} ⊂ E” et ”{x} ∈ P(E)”.

Exercice 1.3

Soit D l’ensemble des nombres entiers de 0 à 10, D^{∗} l’ensemble des nombres entiers de 1 à 10, D^{∗∗} l’ensemble des nombres entiers strictement positifs entre -1 à 10, D_{P} l’ensemble des nombres pairs dans D, D_{I} l’ensemble des nombres impairs dans D, D_{P}^{∗} l’ensemble des nombres pairs dans D^{∗}. Donner toutes les relations possibles entre ces ensembles pour l’inclusion ⊆. Comment faire pour n’en oublier aucune?

♢ Exercice 1.4

Pour E = { a,b,c } donner P(E) et P( P(E) ).

♢

Opérations ensemblistes

Les opérations classiques associées aux ensembles sont l’union, l’intersection notées respectivement ∪ et ∩ définies par

A ∪ B = { x ∈ E; (x ∈ A) ou (x ∈ B) }
A ∩ B = { x ∈ E; (x ∈ A) et (x ∈ B) }

La différence entre un ensemble et un autre, notée classiquement \ permet, pour un ensemble E de référence, d’introduire les opérations de complémentation d’un sous-ensemble de E par rapport à E et de différence symétrique entre deux ensembles, notées respectivement ∁_{E} et Δ :

\begin{aligned}A\B & = \{ x ∈ E ; x ∈ A et x ∉ B \} \\ AΔB & = A\B ∪ B\A. \\ ∁_{E} A & = E\A. \end{aligned}

Si A ∩ B =Ø alors l’union de A et B est dite disjointe, notée A ⨄ B ou encore A⊔B. Il est possible (et commode) de paraphraser les définitions mathématiques, tel A ∪ B défini comme l’ensemble{x; x ∈ A ou x ∈ B} et qui peut être décrit comme l’ensemble des éléments qui sont contenus soit dans A soit dans B en acceptant les éléments qui sont dans les deux en même temps.

Des sous-ensembles A_{i} d’un ensemble E en forment un recouvrement si ⋃ A_{i} = E. Au cas où les A_{i} sont disjoints (ce qui signifie A_{i} ∩ A_{j} = Ø pour i ≠ j) on dit qu’ils réalisent une partition de E. Par contre, si les A_{i} vérifient A_{i} ∩ A_{j} ∈ {Ø,A_{i},A_{j}} on parle de hiérarchie.

Exercice 1.5

Montrer que toute union d’ensembles peut être rendue disjointe.

♢ Chapitre 1. Ensembles et Fonctions

Exercice 1.6 Compléter le tableau suivant où A,B,C et E sont des ensembles avec A ⊂ E, B ⊂ E et C ⊂ E^{∗}, et où X désigne soit A, soit B, soit C:

Ø ∩ E =

Ø ∪ E =

A ∪ E =

X ∩ E =

(X ∩ B) ∪ C =

♢ Exercice 1.7 Soit E l’ensemble des entiers de 1 à 10 et X_{i} l’ensemble { i,i + 1,i + 2}. La famille { X_{1}, X_{3}, X_{6}, X_{8} } est-elle un recouvrement de E ? une partition de E ? Trouver toutes les familles { X_{j} } qui sont une partition de E. ♢ Exercice 1.8 La famille suivante constitue-t-elle une hiérarchie? Essayer d’utiliser un maximum d’ensembles de cette famile pour former une hiérarchie.

F = { ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{a,b,c}}

♢

∗ ce qui ne signifie aucunement que les seuls sous-ensembles de E sont A, B et C.

Quantificateurs et Connecteurs

Les mathématiques classiques réussissent à tout exprimer avec deux quantificateurs universel et existentiel : ∀ (quelque soit, pour tous) et ∃ (il existe, au moins un) qui sont, ”bien sûr” et ”quelque part” la négation l’un de l’autre. On utilise aussi les connecteurs logiques ∧ (”et”), ∨ (”ou”), ¬ (”non”), ⇒ (”implique”) et ⇔ (”équivaut à”).

Sachant par exemple ¬, ∨ et ∀ on définit classiquement les autres connecteurs par

\begin{aligned}A ∧ B & = & ¬ ( (¬A) ∨ (¬B) ) \\ A ⇒ B & = & (¬A) ∨ B \\ A ⇔ B & = & (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) \\ ∃x P (x) & = & ¬( ∀x; ¬P (x) ) \end{aligned}

La définition et la construction d’ensembles peut alors se faire par des formules logiques. On peut ainsi écrire et définir :

A ∩ B  = {x; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
⇔ (∀ x,x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B))
E\A = ∁_{E}A = {x; (x ∈ E) ∧ (x ∉ A)}
A ⊂ B  = {x; si x ∈ A alors x ∈ B} = {x; x ∈ A ⇒ x ∈ B}

Exercice 1.9

Soient c une variable qui correspond au mot ”clé”, b une variable qui correspond au mot ”bureau” et f la fonction ”ouvre” qui s’interprète comme suit : f(c,b) signifie ”la clé c ouvre le bureau b”. Traduire en langage naturel la formule

∃ c ∀ b f(c,b)

Donner sa négation en formule et en langage naturel. Donner aussi l’interprétation des formules

∀ b ∃ c f(c,b)
∃ b ∀ c ¬f(c,b)

♢ Le produit cartésien ExF des deux ensembles E et F est l’ensemble des couples (ordonnés) composés dans cet ordre d’un élément de E et d’un élément de F. Pour trois ensembles, on parle de triplets ou de 3-uples et plus généralement de n-uples ou de n-uplets pour le produit de n ensembles ; en particulier on note E^{n} le produit de E avec lui-même n − 1 fois (ce qui donne bien n fois E en tout).

Exercice 1.10

Quels sont les éléments de E x P(E) ?

♢

Bien qu’intuituive, la notion d’ensemble est délicate à définir. Le nombre d’éléments d’un ensemble aussi. On se doute qu’un ensemble avec 3 éléments est plus ”petit” qu’un ensemble avec 5 éléments, mais comment appréhender la différence entre l’ensemble des entiers positifs et l’ensemble des entiers relatifs? Peut-on vraiment dire qu’il y a deux fois plus d’éléments dans ZZ que dans IN?

Et que dire alors du rapport entre le nombre d’éléments de IN et celui de lR?

A ces questions profondes, délicates, il existe des réponses qui inventent des nouveaux nombres, dits ”ordinaux” en opposition aux ”cardinaux” ; des nombres finis on passe aux infinis, aux transfinis, avec des calculs non ”évidents”... A partir de symboles presque classiques comme ∞, (avec ou sans signe), on débouche sur des nombres ”mystérieux” comme les ℵ (prononcer ”aleffe”), on rêve en apprenant que le ”bout” de lR vu comme une ligne est l’autre bout de la ligne, etc.

L’hypothèse ”magique” de la puissance du continu se révèle être une source d’ambiguités cohérentes (et c’est sans doute la façon la plus claire de le dire), de même que les travaux de Goedel sur l’incomplétude montrent qu’on peut toujours arriver à construire une méta-théorie (c’est à dire une théorie sur la théorie) dans laquelle certaines formules sont inaccessibles, c’est à ni dire ni vraies ni fausses, ce qui bien sûr n’est pas possible pour un être humain douée de raison et de bon sens...

1.2 Fonctions

Une fonction met en jeu des ensembles et définit une ”relation” entre éléments. On notera (ou : ”il ne faut pas oublier”) que f : x ↦ x/2 n’est pas une fonction car une fonction n’est pas définie seulement par la relation fonctionnelle entre les éléments x et f(x) mais aussi par les ensembles de départ et d’arrivée ce qui se note traditionnellement f : E → F. Une fonction peut être injective, surjective, bijective, croissante, involutive, posséder un point fixe, être majorée, minorée...

Exercice 1.11

Trouver trois interprétations de f(x) comme résultat de l’application d’une fonction. Ecrire f comme un triplet.

♢

Ainsi, suivant qu’il s’ agit d’une fonction de IN dans lR ou de IN dans IN , on n’obtient pas les mêmes propriétés pour f. En particulier, on peut avoir des ”fonctions fonctionnelles” qui à une fonction associent à une autre fonction, comme Dériv : g → g′. On note souvent F^{E} ou encore F(E,F) l’ensemble des fonctions de E dans F.

Une fonction mathématique classique est univaluée ou univoque c’est à dire à une seule valeur résultat, soit encore déterministe : une relation comme x → {x,x + 1,x/2} n’est donc pas reconnue comme pouvant donner une ”bonne et belle” fonction du secondaire ; elle est dite multivoque, c’est à dire non déterministe. On prendra soin de ne pas la confondre avec la fonction de lR dans R^{3} définie par x → (x,x + 1,x/2). Parmi les fonctions classiques, on distingue les fonctions à une variable (du secondaire), les lois de composition (souvent à deux variables mais sans le dire ou avec une notation infixe) et les relations (classiquement binaires). Plutôt que de fournir un cours typique, nous nous bornerons à des rappels en quelques pages de ”pot-pourri” avec définitions, formules, (contre)exemples et remarques. Un lecteur consciencieux aura déjà beaucoup de travail à (re)vérifier, à (re)démontrer tous ces exemples.

L’enchaînement de deux fonctions est nommé la composition, notée o et se fait dans un ordre strict. Lorsque cela peut avoir un sens, on définit f^{p}(x) par application de p fois f sur x: f^{1}(x) = f(x), f^{2}(x) = f(f(x)), f^{3}(x) = f(f(f(x)))... On pourra donc trouver une valeur ”raisonnable” à l’expression f^{0}(x).

Une fonction peut s’appliquer à des nombres, des ensembles, à des fonctions... Une opération comme A → ∁_{E}A – qui associe à A son complémentaire dans E – est une fonction à une seule variable. Une autre fonction classique à connaître pour les ensembles est celle qui associe à un ensemble son nombre d’éléments ; on la note Card ou encore # ou |...|. C’est donc une fonction à valeurs dans IN pour les ensembles finis. Pour les ensembles infinis, c’est une autre histoire ! Les fonctions numériques classiques (de lR dans lR) sont les polynômes, les fonctions puissances, exponentielles, logarithmes, trigonométriques... qui seront détaillées un peu plus loin en même temps que les fonctions homographiques, paraboliques etc.

Si f est une fonction de E dans F, l’ensemble {y ; y = f(x) pour x ∈ E} est appelé image de E (ou de f) et noté Im(f) ou f(E) ; cette dernière notation est dangereuse pour les débutants car E est un ensemble et f(E) désigne donc l’ensemble des images : f(E) = { y ; ∃ x ; y = f(x) } soit encore l’ensemble { f(x) ; x ∈ E }. Quand y = f(x), y est l’image de x et x l’antécédent de y. Attention : certains éléments x de E peuvent ne pas avoir d’image, comme x = 1 pour la fonction x → 1/(x − 1) et certains éléments y de F peuvent ne pas avoir d’antécédent comme y = −1 pour x → x^{4} + 1. Lorsque F = E, on dit que A est stable par f si f(A) ⊂ A.

L’image réciproque d’un élément y de F est l’ensemble des x dont l’image est y: Rec(y) = {x ∈ E ; y = f(x)}. Tout naturellement, l’image réciproque d’un sous-ensemble G de F est l’ensemble des x dont l’image est dans G et (bien sûr !) on peut confondre Rec(y) avec Rec({y}).

La notation classique Rec(y) = f^{−1}(y) au lieu de f^{−1}({y}) est dangereuse car elle se confond avec celle de fonction réciproque qui n’existe que quand f est bijective.

On remarquera qu’à coté de ”belles” et nombreuses propriétés ”évidentes” comme f(A∪B) = f(A)∪f(B) on trouve de temps en temps des formules qui limitent, comme ”seulement” f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). D’autres définitions et propriétés ”intéressantes” sont omises ici, comme

f injective ⇒ f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)

f injective ⇔ ∀ X f^{−1}( f(X) ) = X

f surjective ⇔ ∀ X f( f^{−1}(Y) ) = Y

Chapitre 1. Ensembles et Fonctions

Exercice 1.12 Un coup de vent malencontreux (!) a perturbé les exemples et contre-exemples des définitions suivantes. Retrouvez les propriétés pour chacune des lignes proposées. Fonction croissante : ∀ x,y ∈ E ; x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)

x → ax + b

x → 1/x

Fonction minorée : ∃ p ∀ x ∈ E : p ≤ f(x)

x → x

x → x^{2}

Fonction injective : f(x) = f(y) ⇒ x = y x → x + 1

x → x^{4}

Fonction surjective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x)

x → x^{2} de IN dans IN

x → x^{2} de lR dans lR^{+}

Fonction bijective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x) et x unique x → x^{3}

x → sin(x) de lR dans lR

Fonction à point fixe : ∃ t ∈ E ; t = f(t)

x → 2x − 1/2

x → 1 + x

Limite b de f en a : ∀ ε > 0∃ η > 0; |x − a| < η ⇒ |f(x) − b| < ε x → log(x)

x → (x − 1)(x + 1)/(x^{6} − 1) en x = −1

♢ Contrairement à une fonction classique qui n’utilise qu’une seule variable, une loi de composition f sur E dans F est une fonction de ExE dans F et requiert donc deux variables. On note aussi xfy comme pour x + y, x ∩ y etc. Plus généralement, on peut définir la notion de loi ou opération à partir de E^{n} vers F. Très souvent, on se restreint à F = E (loi interne).

Les propriétés classiques des lois se nomment associativité, commutativité, existence d’un élément neutre, etc. Des notions fines de latéralité peuvent être ajoutées (neutre à droite, symétrique à gauche...) mais les notions d’unicité pour les éléments neutre, symétrique... sont alors plus délicates. D’autres propriétés surviennent quand on dispose de deux lois, (distributivité de l’une par rapport à l’autre, d’un côté seulement etc.). La notion d’itérée n’est a priori intéressante que pour les lois commutatives et associatives.

Les relations entre éléments d’un même ensemble E sont des fonctions à résultat booléen (”vrai” ou ”faux” ou encore 0 et 1). On peut aussi les considérer comme des sous-ensembles (graphes) du produit cartésien ExE: xRy ⇔ (x,y) ∈ Graphe(R). Les adjectifs des propriétés associées aux relations sont partielle, totale, (ir)réflexive, (anti)symétrique, transitive... En particulier une relation d’équi-valence est réflexive, symétrique, transitive et induit une partition sur l’ensemble quotient noté E/R . Une relation d’ordre large est réflexive, antisymétrique et transitive ; une relation d’ordre strict est irréflexive, antisymétrique et transitive.

L’intérêt de ces notions est qu’elle sont souvent très générales et qu’elles peuvent donc s’appliquer à des nombres, à des ensembles, à des fonctions. Avec un peu d’imagination, certains mots peuvent mêmes s’appliquer aux êtres humains. Ainsi les amis de mes amis sont mes amis décline une relation de transitivité...

Il est important de comprendre que la structuration des ensembles classiques comme IN, ZZ, lQ, lR... ne se fait pas uniquement sur des propriétés algébriques mais aussi sur des considérations d’analyse. Ainsi (ZZ,+) est le groupe engendré par (IN,+) et (lQ,+) est en le corps des fractions, mais lR ne peut être défini que comme l’adhérence de lQ, c’est à dire que x ∈ lR ⇔ x est la limite d’une suite d’éléments de lQ. De même, le passage à lC qui résout l’équation x^{2} + 1 = 0 comme ZZ résolvait x + 1 = 0 s’accompagne d’une perte de compatibilité de la relation d’ordre naturelle (≤). On ne ”compare” donc pas des complexes ! Le passage de lC à lH, ensemble des ”quaternions” et à lO, ensemble des ”octonions” (de dimensions respectives 4 et 8 en tant qu’espace vectoriel sur lR) vient à son tour perdre l’associativité et l’intégrité (x.y0 ⇒ x = 0 ou y = 0).

Par contre, et nous laisserons le lecteur sur sa faim quant aux démonstrations, on ne peut pas passer à une structure de sur-corps compatible de dimension supérieure (donc de dimension 16). De même, on ne peut construire d’espace vectoriel de dimension 3 sur lR qui soit un corps dont les lois sont compatibles avec celles de lR et avec sa relation d’ordre. Bizarre, non?

Pour vous entrainer avec les propriétés des relations, voici un premier exercice avec des exemples et des contre-exemples :

Exercice 1.13

Voici une liste de définitions, d’exemples et de contres-exemples. A vous de retrouver qui est qui.

Relation antisymétrique ∀ x,y ∈ E xRy et yRx ⇒ x = y
Relation irréflexive  ∀ x,y ∈ E xRy ⇒ x ≠ y
Relation partielle  c’est une relation non totale
Relation réflexive  ∀ x ∈ E xRx
Relation symétrique  ∀ x,y ∈ E xRy ⇒ yRx
Relation totale  ∀ x,y ∈ E xRy ou yRx
Relation transitive  ∀ x,y,z ∈ E xRy et yRz ⇒ xRz

Relations proposées :

ERF ⇔ les ensembles E et F ont une intersection vide
fRg ⇔ ∀x,f(x) ≥ g(x)
pRq ⇔ les polynomes p et q ont une racine commune
xRy ⇔ x est une puissance de y
xRy ⇔ x − y > 0
xRy ⇔ x ≥ y
xRy ⇔ x + y est pair
xRy ⇔ x ou y est pair
xRy ⇔ x et y sont pairs
xRy ⇔ x divise y

♢ Voici un autre exercice, aussi simple mais plus intéressant car complet (pourquoi?) :

Exercice 1.14

Compléter le tableau suivant.

Relation  Réflexive Symétrique Transitive

x − y est pair x ∩ y ≠ Ø x ≤ y x + 10 ≥ y 1 ∈ x ∩ y x + y est impair x divise y et x < y x = y^{2}

♢

Pour finir ce chapitre, voici encore un exercice qui devrait vous donner un peu de ”culture” : il s’agit d’appliquer les lois de compositions aux nombres, aux ensembles quelconques et aux ensembles de fonctions.

Par culture, nous entendons ici à la fois des connaissances (comme ce qu’est le ppmc de deux nombres, ou leur pgcd car cela ne signifie pas ”plus petit monsieur coquin” ni la ”plus grande chose données”) mais aussi du recul sur les ”objets” manipulés. A force de calculer, on finit par ne plus raisonner, à force de raisonner, on finit par oubier le but du calcul... Si la culture en mathématiques passe par l’expérience (il faut avoir déjà ”vu” la fonction identité pour se rendre compte que c’est un bonne ”candidate” comme élément neutre pour la composition des applications), elle demande aussi une bonne mémoire : de nombreux calculs s’emboitent, des définitions se complétent et s’il fallait repartir à zéro pour chaque exemple et chaque contre-exemple, il faudrait doubler les pages de ce manuel.

On trouvera à la fin de l’ouvrage non seulement toutes les solutions des exercices mais aussi une (légère) introduction à Maple, logiciel qui permet de faire de nombreux calculs mathématiques, y compris formels, ce qui pour certain(e)s peut aider à vérfier ou à remplacer les calculs, le tracé des courbes...

Exercice 1.15 Pour chaque loi qui suit, dire s’il c’est un exemple ou un contre-exemple. Lois de composition avec des nombres dans ZZ Loi interne : ∀ x,y ∈ E f(x,y) ∈ E

(x,y) ⇝ x + y (x,y) ⇝ x − y

Loi commutative : ∀ x,y ∈ E f(x,y) = f(y,x)

(x,y) ⇝ x ∗ y − (x + y) (x,y) ⇝ x^{y}

Loi associative : ∀ x,y,z ∈ E f( f(x,y),z ) = f( x,f(y,z) )

(x,y) ⇝ min(x,y) (x,y) ⇝ (x + y)/2

Elément neutre e: ∃ e ∀ x ∈ E f(x,e) = f(e,x) = x (x,y) ⇝ ppmc(x,y) (x,y) ⇝ pgcd(x,y)

Elément symétrique s de x: ∀x ∃ s f(x,s) = f(s,x) = e (x,y) ⇝ x + y (x,y) ⇝ ppmc(x,y)

Elément idempotent i: ∃ i ∃ p f^{p}(i) = i (x,y) ⇝ x ∗ y (x,y) ⇝ x + y − 1

Elément nilpotent n: ∃ n ∃ p f^{p}(n) = e (x,y) ⇝ x + y (x,y) ⇝ x − y + 1

Elément absorbant a: ∃ a ∀ x f(a,x) = f(x,a) = a (x,y) ⇝ x ∗ y (x,y) ⇝ x + y + 1

Elément simplifiable s: ∀ x,y f(x,s) = f(y,s) ⇒ x = y (x,y) ⇝ x ∗ y (x,y) ⇝ max(x,y)

Chapitre 1. Ensembles et Fonctions Lois de composition avec des ensembles Loi interne : ∀ A,B ∈ P(E) f(A,B) ∈ P(E)

(A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ max(A ∩ B)

Loi commutative : ∀ A,B ∈ P(E) f(A,B) = f(B,A)

(A,B) ⇝ AΔB (A,B) ⇝ A\B

Loi associative : ∀ A,B,C ∈ P(E) f( f(A,B),C ) = f( A,f(B,C) ) (A,B) ⇝ { max(A ∩ B) } (A,B) ⇝ AΔB

Elément neutre N : ∃ N ∀ A ∈ P(E) f(A,N) = f(N,A) = A (A,B) ⇝ A ∪ B\A ∩ B (A,B) ⇝ E\(A ∩ B)

Elément symétrique S de A: ∀A ∃ S f(A,S) = f(S,A) = E (A,B) ⇝ AΔB (A,B) ⇝ A ∪ B

Elément idempotent I: ∃ I ∃ p f^{p}(I) = I (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ AΔB

Elément nilpotent M: ∃ M ∃ p f^{p}(M) = N (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ A ∩ B

Elément absorbant G: ∃ G ∀ A f(G,A) = f(A,G) = G (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ A\B

Elément simplifiable S: ∀ A,B f(A,S) = f(B,S) ⇒ A = B (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ A ∩ B Chapitre 1. Ensembles et Fonctions Lois de composition avec des fonctions Loi interne : ∀ f,g ∈ F(E,F) L(f,g) ∈ F(E,F)

(f,g) ⇝ f/g (f,g) ⇝ max({ f(0),g(0) })

Loi commutative : ∀ f,g ∈ F(E,F) L(f,g) = L(g,f)

(f,g) ⇝ f ∗ g − (f + g) (f,g) ⇝ fog

Loi associative : ∀ f,g,h ∈ F(E,F) L( L(f,g),h ) = L( f,L(g,h) ) (f,g) ⇝ min(f,g) (f,g) ⇝ f′ + g′

Elément neutre e: ∃ e ∀ f ∈ F(E,F) L(f,e) = Lf(e,f) = f (f,g) ⇝ fog (f,g) ⇝ max(f,g)

Elément symétrique u de v: ∀u ∃ v L(u,v) = L(v,u) = e (f,g) ⇝ f + g (f,g) ⇝ fog

Elément idempotent i: ∃ i ∃ p L^{p}(i) = i (f,g) ⇝ max(f,g) (f,g) ⇝ f + g + id

Elément nilpotent n: ∃ n ∃ p f^{p}(n) = e (f,g) ⇝ f ∗ g (f,g) ⇝ f + g

Elément absorbant a: ∃ a ∀ f L(a,f) = L(f,a) = f (f,g) ⇝ x ∗ y (f,g) ⇝ x + y

Elément simplifiable s: ∀ f,g L(f,s) = f(g,s) ⇒ f = g (f,g) ⇝ fog (f,g) ⇝ max(f,g)

♢ Chapitre 1. Ensembles et Fonctions

18

Chapitre 2. Polynômes et équations

Chapitre 2.

Polynômes et équations

L’algèbre traditionnelle se caractérise par un certain nombre de calculs et de techniques de calculs. Les opérations mises en jeu sont les quatre opérations arithmétiques classiques, augmentées éventuellement de div et mod qui sont respectivement le quotient et le reste pour la division dans IN. Les polynomes sont des ”morceaux de formules” très utiles. Au début à une seule variable notée x ou X, ils se composent de sommes de puissances de X pondérées par un coefficient numérique ou symbolique. La notion de degré d’un polynôme permet d’indiquer à la fois le nombre de termes requis (éventuellement nuls) et de prévoir la difficulté à le manipuler.

Si on note P (X) un polynome en X, la fonction X ↦ P (X) est la fonction polynomiale associée. On peut alors donner une valeur à X qui était auparavant appelée indéterminée. Résoudre une équation consiste à trouver la ou les valeurs de X (ou à démontrer qu’il n’en existe aucune, ou à discuter à quelle condition ces solutions existent) qui vérifient l’équation et les premiers cas particuliers sont posés par la résolution des équations pour des polynomes de degré 1 et 2. Pour le degré 3, les choses se compliquent. Au-delà, des mathématiciens ont démontré que dans le cas général il n’y a pas forcément de formule de résolution.

Nous terminerons ce chapitre par les nombres complexes qui ont de très nombreuses liaisons avec les polynomes. Ainsi les racines n-ièmes de l’unité sont les solutions du polynome X^{n} = 1.

2.1 Polynomes

Un polynome P est avant tout une suite ordonnée de coefficients, notée classiquement (a_{0},a_{1}...a_{n}). On l’écrit plus simplement a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n} pour faciliter les opérations. Le nombre n qui est l’indice du plus grand coefficient non nul est nommé le degré de P. Ainsi la suite infinie de valeurs (1,0,0,0,0,5,7,0,...0...) définit le polynome 1 + 5X^{5} + 7X^{6} qui est de degré 6. On a pris la mauvaise (pourquoi?) habitude de noter aX + b le polynome de degré 1 et aX^{2} + bX + c celui de degré 2.

L’addition de deux polynomes se fait terme à terme pour les coefficients correspondants à un même degré. Pour la multiplication, on effectue tous les produits par distributivité puis on réduit et on ordonne. Si les coefficients sont en général dans lR, ils peuvent être dans IN ou même ailleurs. La lettre X n’a a priori aucune valeur. Ainsi, ce peut être une fonction f, une matrice M voire un ensemble E. On ne s’intéresse pour l’instant qu’aux calculs sur les puissances pondérées de X.

Exercice 2.1

Soit P et Q deux polynomes de degré respectif α et β. Que peut-on dire du degré de P + Q et P Q?

♢

Exercice 2.2

On utilise la notation ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} pour abréger l’écriture a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n}.

Comment noterait-on a_{n}X^{n}+a_{1}X+...+a_{0} ? a_{0}X^{n}+a_{1}X^{n−1}+...+a_{n−1}X+a_{n} ? Y a -t-il un intérêt à écrire les puissances par ordre croissant ou par ordre décroissant? Utiliser ∑ pour écrire formellement P Q et a^{n} − b^{n}.

♢

Des identités remarquables permettent de factoriser, c’est à dire de décomposer un (gros) polynome en un produit de polynomes plus petits à savoir :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} et a^{2} − b^{2} = (a + b)(a − b)

Le polynome (a + b)^{n} s’écrit ∑_{i=0}^{n} C_{n}^{i}a^{i}b^{n−i} où C_{n}^{i} désigne le coefficient du

binome qui correspond au nombre de sous-ensembles de cardinal i dans un ensemble de cardinal n.

Les écritures canoniques a(X +b/a) et a(X −r_{1})(X −r_{2}) pour les polynomes de degré 1 et 2 permettent de factoriser aussi de nombreux polynomes car il faut savoir que tous les polynomes à coefficients dans lR se factorisent en produits de polynomes de degré 1 ou 2.

Exercice 2.3

Comment retrouve-t-on les valeurs de r_{1} et r_{2}, racines de l’équation du second degré? En déduire une factorisation de X^{4} + 1. Quel est le rapport entre a, b, c et s = r_{1} + r_{2} p = r_{1}r_{2}?

♢

2.2 Equations et Inéquations

Une équation met en jeu comme son nom l’indique le symbole =. Puisque f(x) = a équivaut à f(x) − a = 0 soit encore g(x) = 0 pour g(x) = f(x) − a on ne traitera que les équations du modèle f(x) = 0. De même pour les inéquations, on peut se ramener aux deux modèles f(x) > 0 et f(x) ≥ 0.

Tout x tel que f(x) = 0 est nommé racine de l’équation. Lorsqu’on traite des équations, on confond souvent un polynome P avec sa fonction polynomiale X ↦ P (X). Ainsi on dit que le polynome du premier degré admet la valeur −b/a comme racine unique et celui du second degré admet comme racine(s) (−b + \sqrt{Δ})/2a et (−b − \sqrt{Δ})/2a si Δ = b^{2} − 4ac est positif ou nul, ce qui donne deux racines, éventuellement confondues pour Δ = 0.

Si un polynome P admet ρ comme racine, alors il se factorise en (X − ρ)Q et réciproquement toute racine d’un facteur de P est racine de P.

Exercice 2.4

Factoriser X^{3} + X^{2} − 2X. Factoriser X^{2} + X + γ sachant que X = 3 est racine.

♢

Pour résoudre une équation f(x) = 0, on est souvent amené à faire une étude de la fonction, discuter en particulier de sa continuité puis tracer sa courbe représentative quand il n’est pas possible de trouver des racines exactes. Dans de nombreux cas (polynomiaux, sinusoidaux...) il y a plusieurs solutions et on se doit de réduire l’intervalle de recherche pour aboutir à une solution unique.

Chapitre 2. Polynômes et équations

Exercice 2.5 Utiliser gnuplot pour tracer x → x^{4} − 7x^{3} + 1 et en trouver les racines. Si on ne dispose pas de système de tracé, comment peut-on encadrer les racines de façon précise? ♢

2.3 Nombres complexes

Un nombre complexe est un polynome du premier degré en i avec la particularité que i^{2} = −1. On le note classiquement z = x + iy. Son module ρ est le nombre positif défini par ρ^{2} = x^{2} + y^{2} et son argument est l’angle θ tel que tg(θ) = y/x ce qui permet d’écrire z = ρ( cos(θ) + isin(θ) ) d’où la notation z = ρe^{iθ}. x est nommé partie réelle de z et y sa partie imaginaire. Exercice 2.6 Donner les différentes écritures de 1 + i, i, −1 et 3 + 5i\sqrt{2}. ♢ L’addition des nombres complexes se fait terme à terme, le produit en développant et en ordonnant après avoir simplifié i^{2} en −1. L’avantage de l’écriture en z = ρe^{iθ} et qu’elle fournit (plus rapidement) des expressions compactes et qu’elle permet de retrouver de nombreuses formules trigonométriques. Exercice 2.7 Retrouver cos(a + b) en fonction de sin(a), sin(b), cos(a), cos(b) grâce à l’identité e^{ia}e^{ib} = e^{i(a+b)}. ♢ Une des premières applications des nombres complexes est la résolution dans tous les cas de figure de l’équation du second degré : si Δ = b^{2} − 4ac est négatif, on pose T = −Δ ce qui permet d’utiliser i\sqrt{T} comme racine de Δ. Exercice 2.8 Discuter le nombre et le signe des racines de l’équation αx^{2}+x+μ en fonction des nombres réels α et μ. Reprendre avec α et μ complexes. ♢ Comme on peut le voir dans l’exercice précédent, une grande différence etre les nombres réels et les nombres complexes se situe dans l’absence d’une relation d’ordre. Il est possible de définir une relation comme

x + i y R u + i v ⇔ (x ≤ u) ou (x > u et y ≤ v)

mais cela ne résoud pas pour autant tous les problèmes.^{∗}

La résolution générale des équations polynomiales dans lC est plus ”facile” que dans lR car lC est un corps algébriquement clos, ce qui signifie qu’un polynome de degré n dans lC a exactement n racines. Pour résoudre une équation monomiale du type z^{n} = w on identifie les parties réelles et imaginaires de z^{n} et de w. En particulier les racines de z^{n} = 1, nommées racines n-ièmes de l’unité forment un polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle unité.

Exercice 2.9

Calculer les racines de P = x^{4}+1 = 0 et en regroupant les racines conjuguées, retrouver la factorisation de P.

♢

Le nombre complexe x − iy est nommé nombre complexe conjugé du nombre x − iy; lorsque x + iy = z on le note souvent \overline{z}. Le produit z\overline{z} vaut x^{2} + y^{2} c’est donc le carré ρ^{2} du module de z (et c’est un nombre réel). On en déduit que 1/z s’écrit \overline{z}/ρ^{2}.

Exercice 2.10

Tracer effectivement les racines n-ièmes de l’unité pour n de 1 à 5.

Avec cette méthode, à partir de quel n voit-on un cercle plutôt qu’un polygone régulier?

♢ Chapitre 2. Polynômes et équations

∗ Pourquoi?

24

Chapitre 3. Etude et tracé des Fonctions

Chapitre 3.

Etude et tracé des Fonctions

3.1 Plan d’étude d’une fonction

Le tracé d’une fonction n’est que l’étape finale de l’étude. Celle-ci commence par la détermination du domaine de définition et du domaine d’étude (en cas de symétrie, parité etc.). On vient alors préciser le comportement de la fonction aux bornes de ce domaine par des études de limites (voire de directions asymptotiques) pour ensuite étudier la contitnuité et la dérivabilité de la fonction, les points exceptionnels comme les points d’inflexion, de rebroussement... Il ne reste plus enfin qu’à fournir quelques valeurs, et peut-être quelques équations de tangente pour définir des points de tracé.

Signalons que de nombreuses calculettes ainsi que des logiciels gratuits (gnuplot) ou payants (maple, mathematica) ”savent” tracer des courbes et parfois même déterminer des limites. Mais un dessin ne remplacera jamais une étude précise de la fonction, surtout pour des points ”particuliers”.

Pour le domaine de définition, les quelques cas d’impossibilité s’énoncent ainsi

- un dénominateur ne doit pas s’annuler
- la quantité sous la racine doit être non négative
- on ne peut calculer que le log d’une quantité strictement positive

Exercice 3.1

Donner le domaine de définition des fonctions suivantes de lR dans lR :

\begin{aligned}f_{1} & : x → 1/(x^{2} − 1) \\ f_{2} & : x → 1/\sqrt{(x^{2} − 1)} \\ f_{3} & : x → 1/log( \sqrt{(x^{2} − 1)} ) \end{aligned}

♢

Si f est paire : f(−x) = f(x) alors on peut se dispenser d’étudier f pour les valeurs négatives de x car la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des y. Si f(x + a) = f(x) alors f est périodique de période a et on peut se contenter d’étudier f sur un intervalle de longueur a comme par exemple [−a/2,a/2] ou [0,a]. Rappelons que sin et cos admettent comme plus petite période 2π, que cos est paire alors que sin est impaire.

Exercice 3.2

Donner le domaine de définition et le domaine d’étude des fonctions suivantes de lR dans lR :

\begin{aligned}g_{1} & : x → 1/sin( x^{2} − 1 ) \\ g_{2} & : x → log( x^{2} − 3x + 2 ) \end{aligned}

♢

Le calcul des limites aux bornes se fait en appliquant des règles ”évidentes” comme lim(a + b) = lim(a) + lim(b) lorsque toutes ces limites existent. La définition exacte de ” f admet b comme limite au voisinage de x = a ” est

∀ε > 0 ∃η > 0 ; |x − a| < η ⇒ |f(x) − b| < ε

On admettra (plutôt qu’on ne redémontrera) que certaines fonctions ”l’emportent” sur d’autres. Ainsi lorque x tend vers l’infini, xe^{−x} tend vers zéro.

Lorsque f(x) tend vers f(a)^{∗} quand x tend vers a, on dit que f est continue en a. La limite du taux d’accroissement de f en x_{0}, autrement dit la limite du rapport lorsque h tend vers 0 est noté D(f,x_{0}). Lorsque la dérivabilité de f en x_{0} a été prouvée (par exemple si f est la somme de fonctions dérivables partout), cette limite peut être confondue avec la limite de f′(x) pour x tendant vers x_{0}. C’est ce qui justifie la notation dangereuse f′(x_{0}) pour D(f,x_{0}). Certaines limites peuvent se déduire du calcul de telles valeurs dérivées.

∗ ce qui impose donc que la valeur f(a) est définie

Exercice 3.3

Calculer les limites suivantes

limite en 1  de x → (x^{3} − 1)/(x − 1)
limite en +∞ de x → x − \sqrt{x^{2} + 1}

Que penser des fonctions x → |x|/x et x → sin(x)/x (à cause du point x = 0)?

♢

Lorsque la dérivabilité est assurée, le calcul explicite de la dérivée se fait par l’application répétée de formules élémentaires comme

(f + g)′ = f′ + g′, (fg)′ = f′g + fg′, (fog)′ = f′og.g′, (f^{n})′ = f^{n−1}f′

La dérivée sert à déterminer le sens de variation de la fonction : si f′ > 0 alors f est croissante, si f′ < 0 alors f est décroissante. La droite tangente en x_{0} à la courbe représentative de f est définie par l’équation y−f(x_{0}) = f′(x_{0})(x−x_{0}) et elle passe par le point (x_{0},f(x_{0})). Les droites tangentes servent à préciser le vecteur sur lequel s’appuie la courbe au voisinage du point.

Exercice 3.4

Calculer la dérivée de x → \frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} ?

Quelle est la tangente en 0 de la courbe de g : x → 8x^{3} − 4x^{2} − 2x − 1?

♢

Pour résumer l’étude d’une fonction, il est d’usage de construire un tableau récapitulatif. On indique sur une première ligne les valeurs de x avec éventuellement les intervalles où la fonction n’est pas définie, puis sur la ligne suivante le signe de la dérivée et enfin les variations de f avec des flèches entre les valeurs aux bornes du domaine (sous réserve que la continuité ait été démontrée). Le tracé peut alors être effectué, soit à la main, soit par calculette, ordinateur, avec les problèmes usuels de tout tracé mécanique (échelle, résolution...).

Il est bon de connaitre l’allure générale de certaines courbes. En particulier, les droites y = ax+b, les paraboles y = ax^{2}+bx+c, les hyperboles et fonctions homographiques y = (ax + b)/(cx + d) sont suffisamment ”régulières” pour pouvoir être tracées sans surprise, de même que les courbes des fonctions classiques comme log, exp, sin, tg...

Chapitre 3. Etude et tracé des Fonctions

3.2 Exemples

Soit à étudier la fonction g : x → 8x^{3} − 4x^{2} − 2x − 1. Grâce à g′(x) = 2(6x + 1)(2x − 1), on construit aisément le tableau de variations :

[figure: x; −∞; −1/6; +1/2; +∞; g’(x); +; 0; −; 0; +; −∞; −22/7; −2; +∞; g(x)]

D’où le tracé Prenons comme deuxième exemple h : x → (x+1)^{3}/(x−1)^{2}. Cette fonction est définie pour x différent de 1 et h′(x) = (x + 1)^{2}(x − 5)/(x − 1)^{3}. Pour x inférieur à 1, le tableau de variations est

[figure: x; −∞; −1; 0; 1; h’(x); 1; +; 0; +; +; ∞; −∞; 0; 1; +∞; h(x)]

alors qu’il vaut, pour x supérieur à 1 :

[figure: x; 1; 5; +∞; h’(x); ∞; −; 0; +; 1; +∞; 27/2; +∞; h(x)]

et finalement un tracé rapide est :

Ecrivant x + 1 sous la forme x − 1 + 2 au numérateur, h(x) peut être réécrit en (x − 1) + 6 + 12/(x − 1) + 8/(x − 1)^{2} ce qui met en évidence x + 5 comme asymptote. On aurait aussi pu effectuer la division du numérateur de h(x) par son dénominateur, ce qui aurait abouti à (x+1)^{3} = (x+1)^{2}(x+5)+(12x−4) et via la formule (x + 1)^{3}/(x + 1)^{2} = x + 5 + (12x − 4)/(x + 1)^{2} on retrouve la même asymptote.

Pour bien apprécier ce qui se passe au voisinage de x = 0, deux ”zooms” sont nécessaires, soient les figures :

et

3.3 Fonctions classiques

Nous ne faisons ici que rappeler les définitions et propriétés élementaires des fonctions dites classiques ou encore ”usuelles”. Logarithme et exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre, d’où e^{log(x)} = x = log(e^{x}).

Le logarithme possède la propriété fonctionelle de transformer les produits en somme^{∗}:

log(xy) = log(x) + log(y)

ce qui permet de déduire que log(x^{n}) = nlog(x) et aussi que e^{x}e^{y} = e^{x+y}. Cela permet de calculer informatiquement x^{n} par e^{nlog(x)} pour la plupart des langages de programmation. log et exp sont des fonctions bijectives croissantes, continues et dérivables. On peut aussi définir le logarithme comme la fonction dont la dérivée est la fonction x ↦ 1/x, soit : f = log ⇒ f′ = 1/Id ou encore log = ∫ dx/x.

Exercice 3.5

Etudiez les fonctions x ↦ x^{x} et x ↦ (\frac{x}{x − 1})^{x}.

♢

Puisque cos(x) = (e^{ix} + e^{−ix})/2 et sin(x) = (e^{ix} − e^{−ix})/2i, cos et sin sont continues, dérivables et périodiques. L’équation sin(x) = sin(a) admet les deux solutions x = a et x = π −a alors que l’équation cos(x) = cos(a) admet les deux solutions x = a et x = −a. La dérivée de l’exponentielle e^{u} est u′e^{u}, celle de log(v) = v′/v d’où sin′ = cos et cos′ = −sin.

Exercice 3.6

Etudiez la fonction x → e^{−x}sin(x).

♢

On définit de même ch(x) = (e^{x}+e^{x})/2 et sh(x) = (e^{x}−e^{−x})/2 et th = sh/ch là où c’est possible. Les fonctions Arccos, Arcsin, Arctg, Argch, Argsh et Argth sont alors respectivement les fonctions réciproques des fonctions cos, sin, tg, ch, sh et th.

∗ sous réserve bien entendu que les deux quantités x et y soient strictement positives.

Chapitre 3. Etude et tracé des Fonctions

Exercice 3.7 Quel est la liaison entre sin^{2} et cos^{2}? Trouver une formule analogue pour ch^{2} et sh^{2}. Quelle est la dérivée de th en fonction de ch? Quelle est la dérivéee de Arcsin? Montrez que Argch et Argsh s’écrivent sous la forme log( x + \sqrt{T (x)} ) où T est un polynome en x. Montrez que Argth s’écrit sous la forme log( S(x))/2 où S est le rapport de deux polynomes en x. ♢ Dans de nombreux langages de programmation, on ne donne pas toutes les fonctions citées mais seulement un certain nombre, dites ”primitives”. Les autres doivent alors être recalculées, comme tg(x) = sin(x)/cos(x) si cos(x) est non nul, ArcSin(x) = ArcT g(x/\sqrt{1 − x^{2}})...

Chapitre 4. Dérivées et intégrales

Chapitre 4.

Dérivées et intégrales

4.1 Dérivées

Nous avons présenté au chapitre précédent la notion de dérivée. Rappelons qu’au départ on calcule des valeurs dérivées D(f,x_{0}) comme des limites de taux d’accroissement de f en x_{0} pour ensuite parler de la fonction f′ qui à x fait correspondre D(f,x) qu’on s’autorise alors à écrire f′(x). On peut bien sûr calculer la dérivée de la dérivée, notée f′′ puis f′′′ etc. Une notation plus pratique consiste à utiliser des parenthèses : f′′ = f^{(2)} en convenant que f^{(0)} = f. Il est assez facile de calculer la dérivée n-ième de nombreuses fonctions, ce qui permet de calculer un développement limité (dl) d’une fonction f au voisinage de x_{0} c’est à dire de donner un polynome P qui approche f.

Exercice 4.1

Donner les dérivées successives de sin en x = 0 ; en déduire les premiers termes du dl de sin. Même question pour log et pour un polynome de degré d.

♢

Un autre intérêt des dérivées premières est qu’elle correspondent à la vitesse d’un phénomène lorque la fonction correspond au mouvement. La dérivée seconde correspond alors à l’accélération.

L’opération de dérivation D : f → f′ est additive (D(f +g) = D(f)+D(g)) et ”homogène” (D(αf) = αD(f)). L’ensemble de ces deux propriétés se résume par le mot ”linéaire”.

Exercice 4.2

Montrer que D n’est pas multiplicative, c’est à dire que D(fg) ≠ D(f)D(g).

♢

4.2 Intégrales

Une vision simpliste de l’intégration consiste à la voir comme l’opération réciproque de la dérivation : f′ = g ⇒ f = ∫ g. Toutefois il y a une différence fondamentale : une fonction ne possède (au plus) qu’une dérivée alors qu’il y a de nombreuses intégrales (ou ”primitives”) d’une fonction, différant d’une constante entre-elles : f_{1} = f_{2} = ∫ g ⇒ ∀ x f_{1}(x) = f_{2}(x) + K. Le calcul des primitives se fait en lisant le tableau des dérivées à l’envers. On remarquera le ”trou” dans les primitives de ∫ x^{n}dx = x^{n+1}/(n + 1) pour n=-1 ce qui amène à la définition du log.

L’inversion de la formule (fg)′ = f′g + fg′ donne la formule de l’intégration par parties^{∗}:

∫ fg′ = fg − ∫ f′g notée aussi ∫ udv = uv − ∫ vdu

alors que celle de (fog)′ = f′og.g′ donne l’intégration par changement de variable. Ainsi l’intégrale ∫ sin(2x)dx devient, avec le changement de variable u = 2x soit du = 2dx (1/2) ∫ sin(u)du donc −cos(u)/2.

Si calculer les dérivées est chose simple, le calcul des intégrales demande parfois de l’habileté (quel changement de variable effectuer?), de la réflexion soutenue (il faut parfois plusieurs intégrations par parties pour arriver à la primitive) ou beaucoup de rigueur, notamment pour les intégrales de fration rationnelle. On s’en rendra compte avec les exercices suivants.

Exercice 4.3

Trouver une primitive de 1/(1 + x^{2})^{2} et de 1/(16x^{2} − 32x + 25).

Trouver une primitive de 1/cos puis de sin^{3}(2x).

♢ Chapitre 4. Dérivées et intégrales

∗ on passe ici sous silence la notion d’élément différentiable, en admettant ”magiquement” que df = f′(x)dx et donc sans chercher à comprendre pourquoi ∫ \frac{1}{dx} n’a aucun sens.

Exercice 4.4 Donner un primitive de 1/(x^{4} + 1) sachant qu’elle est combinaison linéaire des primitives des 1/(x − ρ_{i}) où les ρ_{i} sont les racines du polynome (x^{4} + 1). ♢ Contrairement aux dérivées, une fonction n’admet pas forcément de primitive ”simple”. Ainsi (mais il n’est pas aisé de le démontrer), 1/log n’admet pas de primitive ”simple”. Pire, certaines fonctions ne sont pas intégrables comme la fonction g définie sur [0,1] par g(x) = 1 si x est rationnel et g(x) = 0 si x est irrationnel. Une application des intégrales consiste à calculer des aires, c’est à dire des surfaces. On appelle intégrale définie de f entre a et b la différence F (b)−F (a) où F est une primitive de f, ce qui se note ∫_{a}^{b} f ou encore, pour tout détailler ∫_{x=a}^{x=b} f(x)dx. C’est un nombre qui correspond à la surface entre la courbe, l’axe des x, la droite x = a et la droite x = b. Exercice 4.5 Calculer la surface du rectangle et du trapèze rectangle ci-dessous.

♢ Exercice 4.6

0 1 2 3 4 5 0  10  15  20  25 1  4  7

Calculer par récurence en justifiant les passages à la limite à l’aide d’une intégration par parties

I_{n} = ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x}dx et J_{n} = ∫_{0}^{∞} dx/(1 + x^{2})^{n}

♢

4.3 Equations différentielles

Une équations différentielle (ED) met en jeu une variable, une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Résoudre une équation différentielle c’est trouver non seulement des fonctions mais aussi des intervalles sur lesquelle la fonction est dérivable et vérifie l’équation. Un problème de Cauchy est une équation différentielle avec une ”condition initiale” donnée sous la forme f(x_{0}) = y_{0}. Pour simplifier les notations, on pose souvent y = f(x), y′ = f′(x) on parle alors de l’équation y′ = F (x,y) ou f′ = F (x,f) même si ces notations sont parfois dangereuses.

Soit à résoudre l’équation xf′(x) = 1. Supposant que x est non nul, on en déduit f′(x) = 1/x ce qui permet de conclure à la solution f(x) = log(|x|)+K sur lR\{0} où K est une constante arbitraire. Comme log est infini pour x tendant vers zéro, il n’y a aucune solution sur lR. Le problème de Cauchy pour la même équation avec f(1) = 0 redonne le log classique. Pour f(10) = 1 on aurait trouvé le logarithme en base 10.

Exercice 4.7

Résoudre f′(x) = f(x)^{2} et f′(x) = (x + y)^{2}, y′ + y = x^{2}, puis xy′ − y = \sqrt{x^{2} + y^{2}} et enfin chercher une solution de xy′′ + y′ + 4x^{2}y = 0 sous forme d’une série entière y = y(x) = ∑ a_{k}x^{k} avec y(0) = 1 et y′(0) = 0. .

♢

Un cas particulier d’ED est celui des équation linéaires y′ = ay + b, y′′ = ay′ + by + c où a, b et c sont des fonctions avec comme principal sous-cas important celui des équation linéaires à coefficients constants où a, b et c sont alors des nombres. La solution de telles équations est constituée de la somme de la solution de l’équation homogène associée et d’une solution particulière de l’équation complète.

Pour les autres équations différentielles, soit il s’agit d’une équation d’un type classique (Bernouilli, Ricati, Clairaut, Lagrange, ”homogènes”, ”à variables séparables”, ”incomplètes”,) soit ce sont des équations qu’on peut ”bricoler” (changement de variable, de fonction, utilisation de développements en série) soit on ne peut rien y faire !

Chapitre 4. Dérivées et intégrales 38

Chapitre 5. Suites et Séries

Chapitre 5.

Suites et Séries

5.1 Suites

Si a priori une suite est une fonction dont le domaine de définition est une partie de IN ce qui justifierait de la noter u ou n → u(n), la topologie de IN fait qu’on la note (u_{n}) et qu’on la traite différemment d’une fonction définie sur lR. En particulier la seule limite à étudier est en +∞, il n’y a pas à se poser de question de continuité, de dérivabilité.

Le seule notion qui reste est celle de convergence, voire de vitesse de convergence. Les suites classiques sont les suites arithmétiques qui vérifient u(n + 1) = a + u(n) et les suites géométriques qui vérifient u(n + 1) = bu(n). La forme close (ou ”compacte”) est son expression directe en fonction de n et de quelques valeurs initiales, ce qui permet de la calculer (informatiquement) en temps constant. Ces notions sont très utiles pour les calculs de complexité.

Exercice 5.1

Etudier la convergence des suites arithmétiques, des suites géométriques et des séries associées.

♢

Exercice 5.2

Touver la forme compacte de la suite arithmético-géométrique définie par u_{n} = au_{n−1} + b.

♢ Même avec des suites non convergentes, on peut s’intéresser à la vitesse de croissance. On les compare alors aux suites u(n) = n!, u(n) = a^{n}, voire aux suites u(n) = f(n)^{p} ou u(n) = a^{g(n)}.

Les équations aux différences, les relations de récurences entre suites sont alors l’analogue des équations différentielles et requièrent alors les mêmes techniques de résolution.

Exercice 5.3

Résoudre u_{n} = u_{n−1} + u_{n−2} nommée suite de F ibonacci sachant que la solution est aρ_{1}^{n} + bρ_{2}^{n} où ρ_{1} et ρ_{2} sont les racines de l’équation caractéristique associée : X^{2} = X + 1. On prendra u_{0} = u_{1} = 1.

Quel est l’ordre de grandeur de u_{n}?

♢

Exercice 5.4

Dans le pire des cas pour la méthode de tri nommée QuickSort, le nombre L_{n} de comparaisons dans le mode de découpage (”split”) vérifie la relation L_{n} = L_{n−1} + n − 1. Quel est sa forme compacte sachant L_{0} = 0?

♢

Certaines suites n’ont pas de limite, (comme n → (−1)^{n}) mais admettent des sous-suites convergentes vers des limites nommées valeurs d’adhérence (ici vers 1 et -1). D’autres admettent des limites qu’on ne peut pas forcément calculer comme u_{n} = sin(u_{n} − 1).

Lorsqu’une suite s’écrit u(n) = f( u(n − 1) ) avec f continue, la limite L de u (si elle existe) vérifie L = f(L) ce qui permet par exemple de montrer que la suite u_{n+1} = (u_{n} + a/u_{n})/2 converge vers \sqrt{a} pour u_{1}^{2} > a.

La théorie générale pour résoudre x_{n} = a_{n}x_{n−1} + b_{n} dans le cas général consiste à définir y_{n} par y_{0} = x_{0} et x_{n} = y_{n}p_{n} où p_{k} désigne le produit

a_{1}a_{2}...a_{k} car alors on a seulement à résoudre y_{n} = y_{0} + ∑_{j=1}^{n} c_{j} si c_{j} = b_{j}/p_{j}.

Cette méthode simplifie de nombreux calculs lorsque a_{n} est une fraction en n. Il est alors courant de ”tomber” sur la série harmonique H_{n} définie par

H_{n} = ∑_{j=1}^{n} 1/j dont l’ordre de grandeur est log(n).

Exercice 5.5

Dans la méthode de tri nommée QuickSort, le nombre moyen F_{n} de comparaisons vérifie la relation F_{n} = n − 1 + (∑ F_{i−1} + ∑ F_{n−i})/n où à chaque fois les sommes sont prises pour i de 1 à n. Quel est son ordre de grandeur?

♢

Une suite z_{n} de nombres complexes tend vers z si la suite (réelle) des modules |z_{n} − z| converge vers 0. Lorsqu’on doit traiter une inégalité au lieu d’une égalité, seuls certains cas sont ”traitables” à l’aide du ”théorème fondamental” : pour une inégalité du type x_{n} ≤ b_{0}x_{n} + ... + b_{p}x_{n−p} + g(n) (avec n ≥ p), on peut affirmer que x_{n} est inférieur à K_{2}(c + ϵ)^{n} si c est la racine réelle positive de x^{p+1} = b_{0}x^{p} + ... + b_{p} et si g(n) < K_{1}c^{n} à condition que les b_{i} soient positifs ou nuls, avec au moins un b_{i} supérieur à 1.

Exercice 5.6

En théorie des graphes, un ensemble indépendant est un ensemble de sommets dont aucune paire n’est reliée par une arête. Dans le pire des cas, le nombre de calculs pour trouver la taille du plus grand ensemble indépendant d’un graphe de n sommets est le nombre f_{n} qui vérifie f_{n} ≤ cn^{2} + f_{n−1} + f_{n−2}. Quel est l’ordre de grandeur de f_{n}?

Avec une optimisation classique, on aboutit aisément à la nouvelle inéquation f_{n} ≤ cn^{2} + f_{n−1} + f_{n−3}. Quel est le nouvel ordre de grandeur de f_{n}?

♢

Exercice 5.7

Combien faut-il de multiplications pour multiplier deux matrices de taille n?

La méthode rapide de multiplications des matrices, dite méthode de Strassen, n’utilise que g_{m} multiplications avec g_{m} = 7g_{m−1} + 18.4^{m−1}. Y gagne-t-on vraiment quelquechose si n = 2^{m}?

♢

Si f_{n} est une suite de fonctions, on peut étudier la limite ponctuelle en x des f_{n}(x) et en déduire dans les bons cas une fonction f qui est donc la limite des f_{n}. Il est à noter qu’il faut des convergences fortes (normale, uniforme) pour que les propriétés des fonctions f_{n} comme la continuité, la dérivabilité... ”passent” à la limite f.

5.2 Séries

Une série est une suite dont les valeurs sont les sommes partielles d’une autre suite. Autrement dit, la série de terme u_{n} est la suite (v_{n}) telle que v_{n} = v_{n−1} + u_{n} soit encore v_{n} = u_{0} + u_{1} + ...u_{n}. On note ∑ u_{n} une telle série. Pour qu’une série ∑ u_{n} converge, il faut au moins que la suite u_{n} converge mais ce n’est pas suffisant, comme le montre l’exemple classique u_{n} = 1/(n + 1).

Exercice 5.8

Montrer qu’effectivement la série de terme général 1/n ne converge pas.

Vers quoi converge la série u_{n} = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} ?

♢

La série de fonctions ∑ f_{n} est la fonction x → ∑ f_{n}(x) là où il y a convergence de la série.

5.3 Développements en séries

Un cas très important de séries de fonctions est celui des séries entières ∑ a_{n}x^{n} et celui des séries trigonométriques ∑ c_{n}e^{inx}. En particulier le développement en série entière d’une fonction se fait à l’aide des dérivées n-ièmes : au voisinage de 0, le développement correspond à a_{n} = f^{(n)}(0)/n!.

La convergence de la suite S(f)(x) = ∑ f^{(n)}(0)x^{n}/n! vers f(x) n’est pas garantie, même pour les fonctions indéfiniment dérivables, comme le montre l’exemple de la fonction x → e^{−1/x^{2}}.

Exercice 5.9

Donner le développement en série entière de la fonction f : x ↦ e^{−1/x^{2}} (on prolongera f par continuité en x =0). Vers quoi converge la série de f?

Retrouver le développement classique de exp, log, sin...

♢ Chapitre 5. Suites et Séries

Si f est une fonction définie sur l’intervalle [−L,+L] et étendue par périodicité à R (on dit alors que f est 2L- périodique), la série de F ourier de f en x est donnée par

\frac{a_{0}}{2} + ∑_{n}(a_{n}.cos(\frac{nπx}{L}) + b_{n}.sin(\frac{nπx}{L}) )

où les coefficients a_{n} et b_{n} sont définis respectivement par

a_{n} = (1/L) ∫_{c}^{c+2L} f(x).cos(\frac{nπx}{L}).dx

et

b_{n} = (1/L) ∫_{c}^{c+2L} f(x).sin(\frac{nπx}{L}).dx

pour une constante c quelconque (en pratique on prend c = 0 ou c = −L). Exercice 5.10 Donner la série de F ourier de f où f(x) = sin(x). Donner la transformée de F ourier de la fonction g, 2π-périodique définie par g(x) = x^{2} pour x ∈ [0,2π]. En déduire ∑ \frac{1}{n^{2}} . Donner la transformée de F ourier de la fonction h, 4π-périodique si h(x) = x pour x ∈ [0,2]. ♢ L’identité de P arseval est la relation

∫_{−L}^{+L} f(x)^{2} = L.( \frac{a_{0}^{2}}{2} + ∑(a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) )

Elle permet de trouver de nombreuses sommes de séries. Exercice 5.11 Appliquer l’identité de P arseval à la fonction de l’exercice à l’une des fonctions de l’exercice précédent pour en déduire ∑ \frac{1}{n^{4}} . ♢ Chapitre 5. Suites et Séries

44

Chapitre 6. Solution des exercices

Chapitre 6.

Solution des exercices

Exercices du chapitre 1

Exercice 1.1 Un ensemble contient des éléments distincts non ordonnés. Donc {x,x} et {x} désignent le même ensemble. De même : {x,y} = {y,x}. Mais combien y a-t-il d’éléments dans l’ensemble {x,y}? Solution : Si x est différent de y (ce qu’on pourrait croire avec une telle écriture), il y a deux éléments dans {x,y} Sinon, il n’y en a qu’un. ♢ Exercice 1.2 Combien y a-t-il de voyelles? Solution : Cela dépend de la langue, bien sûr, mais aussi du codage. Ainsi en français il y a les voyelles a,e,i,o,u,y soit 6 voyelles mais si on compte les lettres accentuées comme éê... il y en a plus. Comme quoi tout est une question de définition, voire de point de vue. ♢ Exercice 1.3

Soit D l’ensemble des nombres entiers de 0 à 10, D^{∗} l’ensemble des nombres entiers de 1 à 10, D^{∗∗} l’ensemble des nombres entiers strictement positifs entre -1 à 10, D_{P} l’ensemble des nombres pairs dans D, D_{I} l’ensemble des nombres impairs dans D, D_{P}^{∗} l’ensemble des nombres pairs dans D^{∗}. Donner toutes les relations possibles entre ces ensembles pour l’inclusion ⊆. Comment faire pour n’en oublier aucune?

Solution :

Commençons par donner explicitement ces ensembles.

D_{I} = { 1,3,5,7,9 }
D_{P}^{∗} = { 2,4,6,8,10 }
D_{P} = { 0,2,4,6,8,10 } = D_{P}^{∗} ∪ {O}
D^{∗} = { 1,2...10 }  = D_{I} ∪ D_{P}^{∗}
D = { 0,1...10 }  = D^{∗} ∪ {O}

Pour être sûr de ne pas oublier de relation, le mieux est de constuire un tableau (dit produit cartésien). Il faut éventuellement faire attention à l’ordre des éléments dans ce tableau pour que ce soit facile à lire.

On peut se dispenser de D^{∗∗} car D^{∗∗} = D^{∗} bien que leur définition ”humaine” ne soit pas la même. Nous livrons ce tableau tel quel où X indique qu’il y a inclusion :

⊆  D_{I}  D_{P}^{∗}  D_{P}  D^{∗}  D
D_{I}  X  X  X
D_{P}^{∗}  X  X  X  X
D_{P}  X  X
D^{∗}  X  X
D  X

♢

Exercice 1.4

Pour E = { a,b,c } donner P(E) et P( P(E) ).

Solution :

E a 3 éléments, donc P(E) a 2^{3} soit 8 éléments, à savoir Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} et {a,b,c}.

Chapitre 6. Solution des exercices

P( P(E) ) a 2^{8} soit 256 éléments, et nous ne voulons donc pas tous les lister. Donnons seulement les plus petits éléments : Ø, {Ø}, { {a} }, { {b} }, { {c} }, { {a},{b,c} }... ♢ Exercice 1.5 Montrer que toute union d’ensembles peut être rendue disjointe. Solution : Montrons que A ∪ B peut être rendue disjointe. On pourra ensuite appliquer cette décomposition à A ∪ B ∪ C ∪ D.... Paraphrasant ”les éléments dans A ou B sont dans A ou exactement dans B sans être dans A” nous pouvons écrire A ∪ B = A ⊔ (B\A). La décomposition la plus fine et symétrique serait (A ∩ B) ⊔ (A\A ∩ B) ⊔ (B\B ∩ A). ♢ Exercice 1.6 Compléter le tableau suivant où A,B,C et E sont des ensembles avec A ⊂ E, B ⊂ E et C ⊂ E^{∗}, et où X désigne soit A, soit B, soit C:

Ø ∩ E =

Ø ∪ E =

A ∪ E =

X ∩ E =

(X ∩ B) ∪ C =

Solution :

∗ ce qui ne signifie aucunement que les seuls sous-ensembles de E sont A, B et C.

Voici le tableau complété. On pourrait simplifier X ∩B en B lorsque X = B.

\begin{aligned}Ø ∩ E & = & Ø \\ Ø ∪ E & = & E \\ A ∪ E & = & E \\ X ∩ E & = & X \\ (X ∩ B) ∪ C & = & (X ∩ C) ∪ (B ∩ C) \\ ∁_{E} (A ∩ B) & = & ∁_{E} (A) ∪ ∁_{E} (B) \end{aligned}

♢

Exercice 1.7

Soit E l’ensemble des entiers de 1 à 10 et X_{i} l’ensemble { i,i + 1,i + 2}. La famille { X_{1}, X_{3}, X_{6}, X_{8} } est-elle un recouvrement de E ? une partition de E ? Trouver toutes les familles { X_{j} } qui sont une partition de E.

Solution :

Détaillons les ensembles utilisés

\begin{aligned}X_{1} & = & \{ 1,2,3 \} \\ X_{3} & = & \{ 3,4,5 \} \\ X_{6} & = & \{ 5,6,7 \} \\ X_{8} & = & \{ 8,9,10 \} \end{aligned}

De façon ”évidente”, tous les éléments de E sont dans un X_{i} donc les X_{i} forment un recouvrement de E. Ce n’est pas une partition car par exemple X_{1} et X_{3} n’ont pas une instersection nulle. Aucune famille de X_{i} ne peut être une partition car il faut inclure X_{1} à cause de l’élément 1, il faut inclure X_{3} à cause de l’élément 4, et ces ensembles ont l’élément 3 en commun. Par contre, on peut construire la partition en 3 trois-ensembles

{ X_{1}, (X_{3} ∪ X_{6})\(X_{1} ∪ X_{8}), X_{8} }

♢ Exercice 1.8

La famille suivante constitue-t-elle une hiérarchie? Essayer d’utiliser un maximum d’ensembles de cette famile pour former une hiérarchie.

F = { ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{a,b,c}}

Solution :

Ce n’est pas une hiérarchie car {a,b} ∩ {a,c} n’est ni Ø, ni {a,b} ni {a,c}. Pour obtenir une hiérarchie, il suffit d’enlever {a,c}.

♢

Exercice 1.9

Soient c une variable qui correspond au mot ”clé”, b une variable qui correspond au mot ”bureau” et f la fonction ”ouvre” qui s’interprète comme suit : f(c,b) signifie ”la clé c ouvre le bureau b”. Traduire en langage naturel la formule

∃ c ∀ b f(c,b)

Donner sa négation en formule et en langage naturel. Donner aussi l’interprétation des formules

∀ b ∃ c f(c,b)
∃ b ∀ c ¬f(c,b)

Solution :

L’énoncé ∃ c ∀ b f(c,b) signifie qu’il y a une clé qui ouvre tous les bureaux, c’est à dire ”il existe un passe-partout des bureaux”. Sa négation est bien sûr ”il n’existe pas de passe-partout”, soit encore ”quelque soit la clé, il y a (au moins) un bureau qui ne peut pas être ouvert par cette clé”, d’où l’énoncé ∀ c ∃ b ¬f(c,b).

La formule ∀ b ∃ c f(c,b) signifie que ”pour tout bureau, on a au moins une clé qui l’ouvre” et ∃ b ∀ c ¬f(c,b) peut se lire ”il y a au moins un bureau qui ne peut pas être ouvert par toutes les clés”.

♢ Chapitre 6. Solution des exercices

Exercice 1.10 Quels sont les éléments de E x P(E) ? Solution : Ce sont des couples formés en partie gauche d’un élément de E et en partie droite d’un sous-ensemble de E. Par exemple, si a, b, c sont dans E ce pourrait être (a,{a}), (a,{b,c})... ♢ Exercice 1.11 Trouver trois interprétations de f(x) comme résultat de l’application d’une fonction. Ecrire f comme un triplet. Solution : Premièrement, ce peut être le résultat en x de la fonction f : E → F, x ↦ f(x). Deuxièmement, ce peut être le résultat en f de la fonction g: F → F, f ↦ f(x) pour x fixé. Troisièmement, ce peut être le résultat en (x,f) de la fonction g: E x F → F, (x,f) ↦ f(x) pour x fixé. f est le triplet f = (E,F,x → f(x). ♢ Exercice 1.12 Un coup de vent malencontreux (!) a perturbé les exemples et contre-exemples des définitions suivantes. Retrouvez les propriétés pour chacune des lignes proposées. Fonction croissante : ∀ x,y ∈ E ; x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)

x → ax + b

x → 1/x

Fonction minorée : ∃ p ∀ x ∈ E : p ≤ f(x)

x → x

x → x^{2}

Fonction injective : f(x) = f(y) ⇒ x = y x → x + 1 Chapitre 6. Solution des exercices

x → x^{4}

Fonction surjective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x)

x → x^{2} de IN dans IN

x → x^{2} de lR dans lR^{+}

Fonction bijective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x) et x unique x → x^{3}

x → sin(x) de lR dans lR

Fonction à point fixe : ∃ t ∈ E ; t = f(t)

x → 2x − 1/2

x → 1 + x

Limite b de f en a : ∀ ε > 0∃ η > 0; |x − a| < η ⇒ |f(x) − b| < ε x → log(x)

x → (x − 1)(x + 1)/(x^{6} − 1) en x = −1

Solution : Nous indiquons par E l’exemple et par C le contre-exemple. Il est parfois nécessaire de rajouter une valeur (minorant, point fixe etc.) et nous fournissons alors cette valeur. Fonction croissante : ∀ x,y ∈ E ; x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)

E: x → ax + b pour a > 0

C: x → 1/x

Fonction minorée : ∃ p ∀ x ∈ E : p ≤ f(x)

E: x → x^{2} avec p = 0

C: x → x

Fonction injective : f(x) = f(y) ⇒ x = y E: x → x + 1

C: x → x^{4}

Chapitre 6. Solution des exercices

Remarque : l’inclusion f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) devient alors une égalité. Fonction surjective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x)

E: x → x^{2} de lR dans lR^{+}

C: x → x^{2} de IN dans IN

Fonction bijective : ∀ x ∈ F ∃ x ∈ E ; y = f(x) et x unique E: x → x^{3}

C: x → sin(x) de lR dans lR

Fonction à point fixe : ∃ t ∈ E ; t = f(t)

E: 1/2 pour x → 2x − 1/2

C: x → 1 + x

Limite b de f en a : ∀ ε > 0∃ η > 0; |x − a| < η ⇒ |f(x) − b| < ε E: log(a) partout (!) pour x → log(x) E: (x − 1)(x + 1)/(x^{6} − 1) se simplifie en 1/(x^{4} + x^{2} + 1) et vaut donc

1/3 en x = −1

♢ Exercice 1.13 Voici une liste de définitions, d’exemples et de contres-exemples. A vous de retrouver qui est qui.

Relation antisymétrique ∀ x,y ∈ E xRy et yRx ⇒ x = y
Relation irréflexive  ∀ x,y ∈ E xRy ⇒ x ≠ y
Relation partielle  c’est une relation non totale
Relation réflexive  ∀ x ∈ E xRx
Relation symétrique  ∀ x,y ∈ E xRy ⇒ yRx
Relation totale  ∀ x,y ∈ E xRy ou yRx
Relation transitive  ∀ x,y,z ∈ E xRy et yRz ⇒ xRz

Chapitre 6. Solution des exercices

Relations proposées :

ERF ⇔ les ensembles E et F ont une intersection vide
fRg ⇔ ∀x,f(x) ≥ g(x)
pRq ⇔ les polynomes p et q ont une racine commune
xRy ⇔ x est une puissance de y
xRy ⇔ x − y > 0
xRy ⇔ x ≥ y
xRy ⇔ x + y est pair
xRy ⇔ x ou y est pair
xRy ⇔ x et y sont pairs
xRy ⇔ x divise y

Solution :Relation réflexive : ∀ x ∈ E xRx Exemple : pRq ⇔ les polynomes p et q ont une racine commune Contre-exemple : ERF ⇔ E ∩ F = ∅

Relation irréflexive : ∀ x,y ∈ E xRy ⇐ x ≠ y Exemple : xRy ⇔ x − y > 0 Contre-exemple : xRy ⇔ x + y est pair

Relation symétrique : ∀ x,y ∈ E xRy ⇐ yRx Exemple : xRy ⇔ x ou y est pair Contre-exemple : xRy ⇔ x est une puissance de y

Relation antisymétrique : ∀ x,y ∈ E xRy et yRx ⇐ x = y Exemple : xRy ⇔ x ≥ y Contre-exemple : xRy ⇔ x et y sont pairs

Relation transitive : ∀ x,y,z ∈ E xRy et yRz ⇐ xRz Exemple : xRy ⇔ x divise y Contre-exemple : ERF ⇔ E ∩ F = ∅

Relation totale : ∀ x,y ∈ E xRy ou yRx Exemple : xRy ⇔ x ≥ y

Contre-exemple : fRg ⇔ ∀x,f(x) ≥ g(x)

♢

Exercice 1.14

Compléter le tableau suivant.

Relation  Réflexive Symétrique Transitive

x − y est pair x ∩ y ≠ Ø x ≤ y x + 10 ≥ y 1 ∈ x ∩ y x + y est impair x divise y et x < y x = y^{2}

Solution :

Et voilà le travail (sans démonstration) !

Relation  Réflexive Symétrique Transitive
x − y est pair  O  O  O
x ∩ y ≠ Ø  O  O  N
x ≤ y  O  N  O
x + 10 ≥ y  O  N  N
1 ∈ x ∩ y  N  O  O
x + y est impair  N  O  N
x divise y et x < y  N  N  O
x = y^{2}  N  N  N

♢ Exercice 1.15 Pour chaque loi qui suit, dire s’il c’est un exemple ou un contre-exemple. Lois de composition avec des nombres dans ZZ Loi interne : ∀ x,y ∈ E f(x,y) ∈ E

(x,y) ⇝ x + y (x,y) ⇝ x − y

Loi commutative : ∀ x,y ∈ E f(x,y) = f(y,x)

(x,y) ⇝ x ∗ y − (x + y) (x,y) ⇝ x^{y}

Loi associative : ∀ x,y,z ∈ E f( f(x,y),z ) = f( x,f(y,z) )

(x,y) ⇝ min(x,y) (x,y) ⇝ (x + y)/2

Elément neutre e: ∃ e ∀ x ∈ E f(x,e) = f(e,x) = x (x,y) ⇝ ppmc(x,y) (x,y) ⇝ pgcd(x,y)

Elément symétrique s de x: ∀x ∃ s f(x,s) = f(s,x) = e (x,y) ⇝ x + y (x,y) ⇝ ppmc(x,y)

Elément idempotent i: ∃ i ∃ p f^{p}(i) = i (x,y) ⇝ x ∗ y (x,y) ⇝ x + y − 1

Elément nilpotent n: ∃ n ∃ p f^{p}(n) = e (x,y) ⇝ x + y (x,y) ⇝ x − y + 1

Elément absorbant a: ∃ a ∀ x f(a,x) = f(x,a) = a (x,y) ⇝ x ∗ y (x,y) ⇝ x + y + 1

Elément simplifiable s: ∀ x,y f(x,s) = f(y,s) ⇒ x = y (x,y) ⇝ x ∗ y (x,y) ⇝ max(x,y)

Chapitre 6. Solution des exercices Lois de composition avec des ensembles Loi interne : ∀ A,B ∈ P(E) f(A,B) ∈ P(E)

(A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ max(A ∩ B)

Loi commutative : ∀ A,B ∈ P(E) f(A,B) = f(B,A)

(A,B) ⇝ AΔB (A,B) ⇝ A\B

Loi associative : ∀ A,B,C ∈ P(E) f( f(A,B),C ) = f( A,f(B,C) ) (A,B) ⇝ { max(A ∩ B) } (A,B) ⇝ AΔB

Elément neutre N : ∃ N ∀ A ∈ P(E) f(A,N) = f(N,A) = A (A,B) ⇝ A ∪ B\A ∩ B (A,B) ⇝ E\(A ∩ B)

Elément symétrique S de A: ∀A ∃ S f(A,S) = f(S,A) = E (A,B) ⇝ AΔB (A,B) ⇝ A ∪ B

Elément idempotent I: ∃ I ∃ p f^{p}(I) = I (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ AΔB

Elément nilpotent M: ∃ M ∃ p f^{p}(M) = N (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ A ∩ B

Elément absorbant G: ∃ G ∀ A f(G,A) = f(A,G) = G (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ A\B

Elément simplifiable S: ∀ A,B f(A,S) = f(B,S) ⇒ A = B (A,B) ⇝ A ∪ B (A,B) ⇝ A ∩ B Chapitre 6. Solution des exercices Lois de composition avec des fonctions Loi interne : ∀ f,g ∈ F(E,F) L(f,g) ∈ F(E,F)

(f,g) ⇝ f/g (f,g) ⇝ max({ f(0),g(0) })

Loi commutative : ∀ f,g ∈ F(E,F) L(f,g) = L(g,f)

(f,g) ⇝ f ∗ g − (f + g) (f,g) ⇝ fog

Loi associative : ∀ f,g,h ∈ F(E,F) L( L(f,g),h ) = L( f,L(g,h) ) (f,g) ⇝ min(f,g) (f,g) ⇝ f′ + g′

Elément neutre e: ∃ e ∀ f ∈ F(E,F) L(f,e) = Lf(e,f) = f (f,g) ⇝ fog (f,g) ⇝ max(f,g)

Elément symétrique u de v: ∀u ∃ v L(u,v) = L(v,u) = e (f,g) ⇝ f + g (f,g) ⇝ fog

Elément idempotent i: ∃ i ∃ p L^{p}(i) = i (f,g) ⇝ max(f,g) (f,g) ⇝ f + g + id

Elément nilpotent n: ∃ n ∃ p f^{p}(n) = e (f,g) ⇝ f ∗ g (f,g) ⇝ f + g

Elément absorbant a: ∃ a ∀ f L(a,f) = L(f,a) = f (f,g) ⇝ x ∗ y (f,g) ⇝ x + y

Elément simplifiable s: ∀ f,g L(f,s) = f(g,s) ⇒ f = g (f,g) ⇝ fog (f,g) ⇝ max(f,g)

Chapitre 6. Solution des exercices Solution : ... ♢

Exercices du chapitre 2

Exercice 2.1

Soit P et Q deux polynomes de degré respectif α et β. Que peut-on dire du degré de P + Q et P Q?

Solution :

Le produit p_{α}X^{α}.q_{β}X^{β} = p_{α}q_{β}X^{α+β} étant non nul, si deg désigne la fonction degré, deg(P Q) = deg(P) + deg(Q). Par contre on peut pas faire mieux que deg(P +Q) ≤ deg(P)+deg(Q). On peut s’en convaincre en prenant Q = −P.

♢

Exercice 2.2

On utilise la notation ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} pour abréger l’écriture a_{0} + a_{1}X + ... + a_{n}X^{n}.

Comment noterait-on a_{n}X^{n}+a_{1}X+...+a_{0} ? a_{0}X^{n}+a_{1}X^{n−1}+...+a_{n−1}X+a_{n} ? Y a -t-il un intérêt à écrire les puissances par ordre croissant ou par ordre décroissant? Utiliser ∑ pour écrire formellement P Q et a^{n} − b^{n}.

Solution :

a_{n}X^{n} + a_{1}X + a_{0} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} = ∑_{i=0}^{n} a_{n−i}X^{n−i}.

a_{0}X^{n} + a_{1}X^{n−1} + ... + a_{n−1}X + a_{n} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{n−i}.

Ecrire par ordre croissant évite les surprises et permettrait d’utiliser la même lettre pour les constantes, pour le degré 1 etc. Ce n’est malheureusement pas l’habitude qui a été prise. Ecrire par ordre décroissant met en évidence le terme dominant, c’est à dire la plus grande puissance.

Si P = ∑_{i=0}^{α} a_{i}X^{i} et Q = ∑_{j=0}^{β} b_{i}X^{i} alors P Q = ∑_{k=0}^{α+β} c_{i}X^{i} avec c_{k} = ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j},

soit, de façon plus explicite c_{k} = ∑_{i=0}^{k} a_{i}b_{k−i}; a^{n} − b^{n} = (a − b) ∑_{i=0}^{n−1} a^{n−i−1}b^{i}

♢ Chapitre 6. Solution des exercices

Exercice 2.3 Comment retrouve-t-on les valeurs de r_{1} et r_{2}, racines de l’équation du second degré? En déduire une factorisation de X^{4} + 1. Quel est le rapport entre a, b, c et s = r_{1} + r_{2} p = r_{1}r_{2}? Solution : Posant Δ = b^{2} − 4ac, on a r_{1} = (−b + \sqrt{Δ})/2a et r_{2} = (−b + \sqrt{Δ})/2a. Alors s = −b/a et p = c/a.

Dans le cas général, si P = ∑_{i=0}^{α} a_{i}X^{i} et si les ρ_{j} sont les racines, alors on a ∑ ρ_{j} = −a_{1}/a_{0} et ∏ ρ_{j} = (−1)^{n}a_{n}/a_{0} ♢ Exercice 2.4 Factoriser X^{3} + X^{2} − 2X. Factoriser X^{2} + X + γ sachant que X = 3 est racine. Solution : Pour X = 0, X^{3} + X^{2} − 2X vaut 0, ce qui signifie que 0 est racine. Donc on peut écrire X^{3} + X^{2} − 2X = XQ. Posant Q = aX^{2} + bX + c, en développant et identifiant, on trouve Q = X^{2} +X −2 et en factorisant Q, X^{3} +X^{2} −2X = X(X + 2)(X − 1). Si X = 3 est solution de X^{2} + X + γ = 0 alors X^{2} + X + γ = (X − 3)(X − a). Par identification, −3 − a = 1 et 3a = γ. D’où, si γ = −12, X^{2} + X + γ = (X − 3)(X + 4) ; si γ est différent de -12, pas de solution. ♢ Exercice 2.5 Utiliser gnuplot pour tracer x → x^{4} − 7x^{3} + 1 et en trouver les racines. Si on ne dispose pas de système de tracé, comment peut-on encadrer les racines de façon précise?

Solution :

Avec Gnuplot, un premier tracé entre -2 et 8 permet de voir qu’il doit y avoir une solution entre 0 et 1 et une seconde entre 6 et 8 (en fait, un peu avant 7). Voici les instructions Gnuplot et le le tracé correspondant

#Fichier exo2.5 pour Gnuplot set xrange [ -2 : 8] set yrange [-300 : -100] f(x) = x**4-7*x**3+1 plot f(x)

Si on ne dispose pas de système de tracé, on utilise la technique de dichotomie: pour f continue, si f(a)f(b) < 0 alors il y a une valeur entre a et b qui annule f. Donc on essaie avec m = (a + b)/2 et on remplace ensuite soit a soit b par m et on recommence...

Ainsi f(0) =1, f(1) = -5. Puisque f(0,5) =0.1875 on cherche une solution entre 0,5 et 1. Puisque f(0,75) = -1.64, la solution doit être entre 0,5 et 0,75. On pourrait même arriver à la valeur 0.5368487 comme approximation de la première solution positive.

Chapitre 6. Solution des exercices

Avec Gnuplot, en restreignant via xrange [-1:2] on voit effectivement que la solution est au voisinage de 0,5 :

♢ Exercice 2.6 Donner les différentes écritures de 1 + i, i, −1 et 3 + 5i\sqrt{2}. Solution :

\begin{aligned}1 + i & = \sqrt{2}e^{iπ/4}, \\ i & = e^{iπ/2}, \\ -1 & = e^{iπ}, \\ 3 + 5i\sqrt{2} & = \sqrt{59}e^{iα} où tg(α) = 5\sqrt{2}/3 \end{aligned}

♢ Exercice 2.7 Retrouver cos(a + b) en fonction de sin(a), sin(b), cos(a), cos(b) grâce à l’identité e^{ia}e^{ib} = e^{i(a+b)}.

Chapitre 6. Solution des exercices

Solution : En identifiant les parties réelles terme à terme, après développement, on trouve cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b). ♢ Exercice 2.8 Discuter le nombre et le signe des racines de l’équation αx^{2}+x+μ en fonction des nombres réels α et μ. Reprendre avec α et μ complexes. Solution : Si α = 0, l’équation se réduit à x + μ = 0 qui admet toujours la solution x = −μ. Pour α non nul, il s’agit d’une équation du second degré. Δ vaut 1 − 4αμ. Pour Δ négatif, les solutions sont complexes et la question de leur signe n’a aucun sens. Pour Δ positif, il y a deux solutions réelles. Leur signe peut être quelconque ; on pourra s’en convaincre en considérant les équations (X + a)(X − (a − 1)) pour a quelconque. ♢ Exercice 2.9 Calculer les racines de P = x^{4}+1 = 0 et en regroupant les racines conjuguées, retrouver la factorisation de P. Solution : x^{4} = −1 = 1^{4}ρ^{4}e^{iπ/4} donc on a 4 solutions, à savoir ρ_{1} = e^{iπ/4} = a + ib, ρ_{2} = e^{3iπ/4} = −a + ib, ρ_{3} = e^{5iπ/4} = −a − ib, ρ_{4} = e^{7iπ/4} = a − ib pour a = cos(π/4) = 1/\sqrt{2} et b = sin(π/4) = 1/\sqrt{2}. Comme ρ_{1} et ρ_{4} sont conjugués, (x − ρ_{1})(x − ρ_{4}) = x^{2} − x\sqrt{2} + 1 et donc x^{4} + 1 = (x^{2} − x\sqrt{2} + 1)(x^{2} + x\sqrt{2} + 1). On aurait pu aussi essayer d’écrire x^{4} + 1 comme le début du carré de (x^{2} + 1), retrancher le terme en trop (2x^{2}) et factoriser en utlisant l’identité a^{2} − b^{2}. ♢ Exercice 2.10 Tracer effectivement les racines n-ièmes de l’unité pour n de 1 à 5. Avec cette méthode, à partir de quel n voit-on un cercle plutôt qu’un polygone régulier?

Solution :

Les racines n-ièmes de l’unité sont situées sur le cercle-unité (le cercle de centre (0,0) et de rayon). Ces racines sont équidistantes les unes des autres et si on les relie, on obtient un polygone régulier de n inscrit dans ce cercle. Puisque (1 + 0i)^{n} = 1, le point (1,0) est toujours solution. Si n =2, l’autre point solution est (−1,0).

-2^{-1.5}^{-1}^{-0.5}^{0}^{0.5}^{1}^{1.5}^{2}^{-2}^{-1.5}^{-1}^{-0.5} ^{0} ^{0.5} ^{1} ^{1.5} ^{2} • • •  • Avec n = 3 on a un joli trianglé equilatéral.  ^{^{-2}^{-1.5}^{-1}^{-0.5}^{0}^{0.5}^{1}^{1.5}^{2}^{-2} ^{-1.5} ^{-1} ^{-0.5} ^{0} ^{0.5} ^{1} ^{1.5} ^{2} • • • •  •} Et pour n = 4 un carré.

Pour que le polygone régulier à n cotés ressemble à un cercle, il faut prendre n ≥ 20 (après essai sur ordinateur).

♢ Chapitre 6. Solution des exercices

Exercices du chapitre 3

Exercice 3.1 Donner le domaine de définition des fonctions suivantes de lR dans lR :

\begin{aligned}f_{1} & : x → 1/(x^{2} − 1) \\ f_{2} & : x → 1/\sqrt{(x^{2} − 1)} \\ f_{3} & : x → 1/log( \sqrt{(x^{2} − 1)} ) \end{aligned}

Solution : Pour f_{1} il faut x^{2} − 1 non nul soit x ∉ {−1,1}, c’est à dire, sous forme d’intervalle, [−∞, − 1[∪] − 1,1[∪]1, + ∞[. Pour f_{2} il faut x^{2} − 1 ≥ 0 et \sqrt{x^{2} − 1} non nul soit x ∉ [−1,1], c’est à dire [−∞, − 1[∪]1, + ∞[ sous forme d’intervalle. Pour f_{3} il faut x^{2}−1 ≥ 0, \sqrt{x^{2} − 1} > 0 et log(\sqrt{x^{2} − 1}) non nul soit x ∉ [−1,1] et \sqrt{x^{2} − 1} ≠ 1, il faut donc ôter \sqrt{2} et −\sqrt{2} au domaine de f_{2}. Un tracé rapide de ces courbes donne les figures suivantes

Tracé de f_{1}

Tracé de f_{2}

Tracé de f_{3}

♢ Exercice 3.2

Donner le domaine de définition et le domaine d’étude des fonctions suivantes de lR dans lR :

\begin{aligned}g_{1} & : x → 1/sin( x^{2} − 1 ) \\ g_{2} & : x → log( x^{2} − 3x + 2 ) \end{aligned}

Solution :

L’étude de u → sin(u) se restreint à l’intervalle [0,2π] pour u. Ici u vaut x^{2}−1 donc on doit se restreindre à l’intervalle [1,\sqrt{2π + 1} avec x ∉ \{−1, + 1\}. Un tracé rapide de ces courbes donne les figures suivantes.

Tracé de g_{1}

Tracé de g_{2}

♢

Exercice 3.3

Calculer les limites suivantes

limite en 1  de x → (x^{3} − 1)/(x − 1)
limite en +∞ de x → x − \sqrt{x^{2} + 1}

Que penser des fonctions x → |x|/x et x → sin(x)/x (à cause du point x = 0)?

Solution :

Si x tend vers 1, x est différent de 1 et on peut donc simplifier par x − 1 la première expression proposée ; il reste alors x^{2} + x + 1 qui est une fonction continue et dont la limite en 1 est 3.

Pour x − \sqrt{x^{2} + 1}, on multiplie par la x + \sqrt{x^{2} + 1}/x + \sqrt{x^{2} + 1} ce qui ne change rien au résultat. Comme x + \sqrt{x^{2} + 1} est la quantité conjugée de x − \sqrt{x^{2} + 1}, il reste 1 au numérateur et 1/(x + \sqrt{x^{2} + 1}) au dénominateur dont la limite est 0 pour x infini.

Clairement x → |x|/x n’est pas définie en zéro et ne peut pas être prolongée car sa limite à gauche est -1 et sa limite à droite est 1. Par contre x → |x| est continue en zéro mais sa dérivée n’admet pas de limite en 0.

x → sin(x)/x n’est pas définie en zéro mais on peut la prolonger par la valeur 1 en zéro car la limite de sin(x)/x en zéro est la valeur de cos en 0 (écrire sin(x) comme sin(x) − sin(0) et x comme x − 0 pour faire apparaitre la définition de la dérivée).

♢

Exercice 3.4

Calculer la dérivée de x → \frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} ?

Quelle est la tangente en 0 de la courbe de g : x → 8x^{3} − 4x^{2} − 2x − 1?

Solution :

La dérivée de \frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} est celle de u/v avec v = \sqrt{w} pour u = 1 = x, w = 1+

x^{2}. Appliquant les formules usuelles, on finit par arriver à (1−x)/(1+x^{2})^{3/2}. g(0) vaut -1, g′(0) vaut -2 donc l’équation de la tangente est y = −2x − 1.

♢

Exercice 3.5

Etudiez les fonctions x ↦ x^{x} et x ↦ (\frac{x}{x − 1})^{x}.

Solution :

Puisque x^{x}=e^{xlog(x)} il faut x > 0. Lorsque x devient infini, y aussi. Calculons la limite en 0. Puisque ”x l’emporte sur le log”, y tend vers e^{0} c’est à dire 1 lorsque x tend vers 0. La dérivée de y est x^{x}(log(x) + 1) qu’on trouve en posant y = e^{α} avec α = xlog(x). Cette dérivée s’annule en x = 1/e soit à peu près 0,37. On peut montrer que f n’est pas dérivable en 0 et que 1/e est un minimum de la fonction, qui par ailleurs croit très vite.

0 20 40 60 80 100 0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4

Tracé sommaire de x → x^{x}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0  0.5  1  1.5  2  2.5

Tracé plus fin de x → x^{x} au voisinage de 1/e La fonction x ↦ (\frac{x}{x − 1})^{x} n’est définie que pour \frac{x}{x−1} > 1 soit donc hors

de l’intervalle [0,1]. Ecrivant y sous la forme 1/(1 − 1/x)^{x} on ”voit” que y tend vers 1/e si x est infini. Lorsque x tend vers 0, y tend vers 1 et si x tend vers 1, y tend vers +∞. Le signe de y′ est difficile à étudier directement (on pourrait montrer que f n’est pas dérivable à l’origine). Utilisant la dérivée logarithmique z = y′/y, l’étude de z aboutit au tableau de variation suivant

[figure: x; −∞; 0; 1; +∞; z’(x); −; +; 0; 0; z(x)]

d’oú y′ est toujours négatif, le tableau de variation de y est alors :

[figure: x; −∞; 0; 1; +∞; y’(x); −; −; e; 1; +∞; e; y(x)]

Voici donc un tracé sommaire de la fonction

-10 -5 0 5 10 -6  -4  -2  0  2  4  6

Chapitre 6. Solution des exercices Voici un tracé plus précis de la fonction.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-7  -6  -5  -4  -3  -2  -1  0
Tracé de x → (\frac{x}{x − 1})^{x} pour x < 0
Tracé de x → (\frac{x}{x − 1})^{x} pour x > 1

♢ Chapitre 6. Solution des exercices

0 20 40 60 80 100 1  1.5  2  2.5  3  3.5  4

Exercice 3.6 Etudiez la fonction x → e^{−x}sin(x). Solution : Il n’y a aucune difficulté pour cette fonction. Elle diminue en oscillant autour de l’axe des x, comme le montrent les courbes suivantes.

-800 -600 -400 -200 0 200-7  -6  -5  -4  -3  -2  -1  0
Tracé de x ↦ e^{−x}sin(x) pour x < 0

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1  0  1  2  3  4
Tracé de x ↦ e^{−x}sin(x) pour x > 0

♢ Chapitre 6. Solution des exercices

Exercice 3.7 Quel est la liaison entre sin^{2} et cos^{2}? Trouver une formule analogue pour ch^{2} et sh^{2}. Quelle est la dérivée de th en fonction de ch? Quelle est la dérivéee de Arcsin? Montrez que Argch et Argsh s’écrivent sous la forme log( x + \sqrt{T (x)} ) où T est un polynome en x. Montrez que Argth s’écrit sous la forme log( S(x))/2 où S est le rapport de deux polynomes en x. Solution : Bien sûr sin^{2} + cos^{2} = 1 ce qui se démontre à partir des définitions sin(a) = (e^{ia} − e^{−ia})/2i et cos(a) = (e^{ia} + e^{−ia})/2. Puisque sh(a) = (e^{a} − e^{−a})/2 et ch(a) = (e^{a} + e^{a})/2, on en déduit ch^{2} − sh^{2} = 1 (on peut imaginer qu’on remplace cos par ch et sin par i.sh).th′ vaut 1 − th^{2} soit encore 1/ch^{2}. A partir de (f ∘ g) = Id, on trouve f′ ∘ g.g′ = 1 donc la dérivée de f^{−1} est 1/f′ ∘ f^{−1} donc la dérivée de arcSin est 1/sin′(arcsin) = 1/cos(arcsin) = 1/\sqrt{1 − Id^{2}}. Additionnant sh(y) = x et donc ch(y) = \sqrt{1 + x^{2}} on déduit e^{y} = x+\sqrt{1 + x^{2}} d’où

y = argsh(x) = log(x + \sqrt{x^{2} + 1})

De même, d’où y = argch(x) = log(x + \sqrt{x^{2} − 1}) et argth(x) = log(S(x))/2 pour S(x) = (1 + x)/(1 − x). ♢

Exercices du chapitre 4

Exercice 4.1

Donner les dérivées successives de sin en x = 0 ; en déduire les premiers termes du dl de sin. Même question pour log et pour un polynome de degré d.

Solution :

sin(0) = 0, sin′(0) = cos(0) = 1 etc. D’où la suite périodique de valeurs 0,1,0,-1 pour la suite des dérivées en zéro. Une autre façon de faire est de remarquer que sin(n)(x) = sin(x + nπ/2). On en conclut que sin(x) = x − x^{3}/3!... = ∑(−1)^{n}x^{2n+1}/(2n + 1)!.

Le calcul des dérivées de log en zéro n’a aucun sens. Par contre, on peut s’intéresser aux dérivées de x → log(x + 1) pour x = 0. On peut dériver une fois (ce qui donne 1/(1 + x)), deux fois (−1/(1 + x)^{2}) ou bien directement intégrer terme à terme l’équation 1/(1 + x) = 1 − x + x^{2}... + (−1)^{n}x^{n}.

Pour le polynome P (x) = ∑_{i=0}^{d} a_{i}x^{i}, on trouve facilement

P^{(k)}(x) = ∑_{i=k}^{d} i(i − 1)...(i − k + 1)a_{i}x^{i−k}

= ∑_{i=k}^{d} ∏_{j=0}^{k−1}(i − j)a_{i}x^{i−k}

= ∑_{i=k}^{d} i!/(i − k)!a_{i}x^{i−k}

♢

Exercice 4.2

Montrer que D n’est pas multiplicative, c’est à dire que D(fg) ≠ D(f)D(g).

Solution :

Soit f définie par f(x) = x^{2}. Un calcul direct de D(f) aboutit à D(f)(x) = 2x.

Chapitre 6. Solution des exercices

En effet

D(f)(x) = lim \frac{(x + h)^{2} − x^{2}}{h} pour h → 0
= lim \frac{2xh + h^{2}}{h}
= 2x

Comme D(x) = 1, si D était multiplicative, on aurait D(f)(x) = D(x^{2}) = D(xx) = D(x)D(x) = 1.1 = 1 ♢ Exercice 4.3 Trouver une primitive de 1/(1 + x^{2})^{2} et de 1/(16x^{2} − 32x + 25). Trouver une primitive de 1/cos puis de sin^{3}(2x). Solution :

a) pour 1/(1 + x^{2})^{2}, effectuons le changement de variable x = tg(u) alors l’intégrale devient (1 + tg^{2}(u)du/(1 + tg^{2}(u))^{2} soit du/(1 + tg^{2}(u)) qui est directement la primitive de cos^{2}(u) soit \frac{1 + cos(2u)}{2}.

b) 16x^{2} − 32x + 25 peut s’écrire 16(x − 1)^{2} + 9. Utilisant le changement de variable x − 1 = 3u/4 l’intégrale cherchée est \frac{1}{16} ∫ \frac{dx}{(x − 1)^{2} + (3/4)^{2}} soit

encore \frac{1}{16} \frac{3/4}{9/16} ∫ \frac{du}{u^{2} + 1} donc ArcT g(u)/12 soit finalement ArgT g( 4(x −

1)/3 )/12.

c) essayons ”par hasard” de dériver log( tg(x/2) ). On trouve directement 1/2cos^{2}(x/2)tg(x/2) soit 1/2sin(x/2)cos(x/2). Comme sin(2u)=2sin(u)cos(u) on en déduit qu’une une primitive de 1/cos est x ↦ log(|tg(x/2 + π/4)|).

d) à partir du développement de e^{3iu}=(cos(u) + isin(u))^{3}, en identifiant les parties imaginaires, on trouve sin(3u)=4sin^{3}(u) − 3sin(u). D’où sin^{3}(u) = ( sin(3u) − 3sin(u) )/4. Applicant ici à u = 2x, on cherche une primitive de (3sin(2x) − sin(6x))/4 soit −3cos(2x)/8 + cos(6x)/24. ♢ Exercice 4.4

Donner un primitive de 1/(x^{4} + 1) sachant qu’elle est combinaison linéaire des primitives des 1/(x − ρ_{i}) où les ρ_{i} sont les racines du polynome (x^{4} + 1).

Solution :

A priori, la décomposition dite ”en éléments simples” de la fraction rationelle 1/(x^{4} + 1) est

\frac{a_{1}}{x − ρ_{1}} +\frac{a_{2}}{x − ρ_{2}} +\frac{a_{3}}{x − ρ_{3}} +\frac{a_{4}}{x − ρ_{4}}

où les ρ_{i} sont complexes et les a_{i} aussi. Nous avons vu au chapitre deux une factorisation dans lR de x^{4} + 1 ce qui nous permet de poser directement comme décomposition

\frac{ax + b}{x^{2} + x\sqrt{2} + 1} +\frac{cx + d}{x^{2} − x\sqrt{2} + 1}

A partir de x = 0, soit b + d = 1, de x = 1, de x = i, en multipliant par x et en prenant la limite infinie, soit a + c=0, on trouve que a = \sqrt{2}/4=−c, b = 1/2 = 1 − d. La première partie de l’intégrale de 1/(x^{4} + 1) utilise donc l’intégrale de 1/(x^{2} +x\sqrt{2}+1). Avec le changement de variable u = x\sqrt{2}+1, cette intégrale se réduit à celle de \sqrt{2}/(u^{2} + 1) soit \sqrt{2}ArcT g(x\sqrt{2} + 1). La même technique s’applique pour l’autre partie de l’intégrale.

♢

Exercice 4.5

Calculer la surface du rectangle et du trapèze rectangle ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 0  10  15  20  25 1  4  7

Chapitre 6. Solution des exercices

Solution : Le rectangle de longueur 3 de largeur 2 a bien sûr comme surface 6, ce qu’on trouve aussi par le calcul intégral R = ∫_{1}^{4} 2dx = [2x]_{1}^{4} = 2.4−2.1 = 8−2 = 6. Pour le trapèze, la formule directe (b + B) ∗ h/2 donne (10 + 13) ∗ 3/2 soit 69/2=34,5. Au niveau du calcul intégral : T = ∫_{7}^{20} f = ∫_{7}^{10} f+ = ∫_{10}^{20} f. Comme f(x) vaut x − 7 pour x entre 7 et 10, et 3 pour x entre 10 et 20, on en déduit que T vaut [x^{2}/2 − 7x]_{7}^{10} +[3x]_{10}^{20} soit (100-49)/2+30 ce qui redonne bien 34,5. ♢ Exercice 4.6 Calculer par récurence en justifiant les passages à la limite à l’aide d’une intégration par parties

I_{n} = ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x}dx et J_{n} = ∫_{0}^{∞} dx/(1 + x^{2})^{n}

Solution : Intégrons x^{n}e^{−x} en parties avec u = x^{n} et dv = e^{−x}dx soit v = −e^{−x} et du = nx^{n−1}dx. Alors I_{n} vaut [−e^{−x}x^{n}]_{0}^{+∞} +∫_{0}^{∞} nx^{n−1}e^{−x}dx. Comme ”l’exponentielle l’emporte sur la puissance”, le premier terme est nul et le deuxième peut se lire nI_{n−1}. Grâce à I_{0}=1, on en déduit que I_{n} = n!. Pour J_{n}, intégrons aussi en parties avec du = dx, v = 1/(1 + x^{2})^{n} soit u = x et dv = −2nx/(1 + x^{2})^{n+1}. J_{n} vaut donc [−2nx^{2}/(1 + x^{2})^{n+1}]_{0}^{+∞} +2n ∫_{0}^{∞} x^{2}dx/(1+x^{2})^{n}. Là encore le premier terme est nul, et pour le second, utilisons l’astuce de décomposition x^{2} = (1+x^{2})−1 ce qui permet de séparer l’intégrale en deux termes qui valent respectivement 2nJ_{n} et −2nJ_{n+1}. Or, si J_{n} = 2nJ_{n} − 2nJ_{n+1} alors J_{n+1} = (2n − 1)J_{n}/2n ce qui permet de conclure que J_{n} = ∏_{k}(2k − 1)J_{1}/2^{n}. On vérifiera que J_{1} = π/2.

♢ Exercice 4.7

Résoudre f′(x) = f(x)^{2} et f′(x) = (x + y)^{2}, y′ + y = x^{2}, puis xy′ − y = \sqrt{x^{2} + y^{2}} et enfin chercher une solution de xy′′ + y′ + 4x^{2}y = 0 sous forme d’une série entière y = y(x) = ∑ a_{k}x^{k} avec y(0) = 1 et y′(0) = 0. .

Solution :

Si y′ = y^{2} alors ”en gros” y′/y^{2} = 1 donc en intégrant terme à terme, −1/y = x + K. En fait, de façon plus rigoureuse, il faut séparer le cas y = 0 (d’où y′ = 0 donc y = 0 est solution) et la cas y ≠ 0, auquel cas y vaut −1/(x + K) pour x < −K et sur x > −K.

Pour résoudre y′ = (x + y)^{2}, effectuons le changement de variable g = x + y. Alors g′ = 1+y′ et on doit donc résoudre g′ = 1+g^{2} dont la résolution donne ArcT g(g) = x + K, soit finalement y = tg(x − c) − x.

L’équation y′+y = x^{2} est une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants. L’équation homogène associée est y′ +y = 0 soit encore y′/y = −1 dont la solution est y = Ce^{−x}. Une solution particulière peut être cherchée sous la forme d’un polynome du second degré, soit y = ax^{2} + bx + c, d’où a = 1, b = −2, c = 2 et la solution générale en est la somme, soit y = Ce^{−x} + x^{2} − 2x + 2.

L’équation suivante n’est pas séparable à première vue, mais on on peut, s’y ramener car y′ = (y + \sqrt{x^{2} + y^{2}})/x, ce qui suggère le changement de variable y = tx d’où \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x\sqrt{1 + t^{2}}), soit y′ = t + \sqrt{1 + t^{2}} d’une part, y′ = t′x + t d’autre part, ce qui aboutit à t′/\sqrt{1 + t^{2}} = 1/x ou encore, pour t = sh(φ) : dφ = 1/x. Intégrant terme à terme, ”il vient” x = Ce^{φ}, soit finalement y = Ce^{φ}sh(φ) = c(e^{2φ} − 1)/2 = x^{2}/2c − c/2.

Enfin, pour l’équation de Bessel xy′′+y′+4x^{2}y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0, si y = y(x) = ∑ a_{k}x^{k} alors y′ = ∑ ka_{k}x^{k−1} et y′′ = ∑ k(k − 1)a_{k}x^{k−2}. Le coefficient de x^{k} dans la somme xy′′ + y′ + 4x^{2}y est a_{1} pour x^{0}, 2a_{2} pour x^{1}, 4a_{k−2} + (k + 1)^{2}a_{k+1} pour x^{k} avec k ≥ 2. Puisque y(0) = a_{0} = 1 et y′(0) = a_{1} = 0, on a a_{2} = 0 et a_{k} = −4a_{k−3}/k^{2} ou, puisque les a_{k} ne sont non nuls que pour k multiple de 3 : a_{3k} = −4a_{3(k−1)}/9k^{2}.

♢

Exercices du chapitre 5

Exercice 5.1

Etudier la convergence des suites arithmétiques, des suites géométriques et des séries associées.

Solution :

Si u_{n} = u_{n−1} + a alors par récurence, u_{n} = u_{0} + n × a. Si a =0 alors la suite est constante de valeur u_{0} et donc de limite u_{0}. Si a ≠ 0 alors (u_{n}) diverge (sa limite est en fait sg(a)∞).

Si v_{n} = v_{n−1} × b alors par récurence, v_{n} = v_{0} × b^{n}. Si b =0 alors la suite est constante de valeur 0 et donc de limite 0. Si |b| < 1 alors (v_{n}) converge vers 0. Si b vaut 1, (v_{n}) est constante de valeur v_{0} et donc de limite v_{0}. Si b vaut -1 alors (v_{n}) diverge (mais admet les deux valeurs d’adhérence v_{0} et −v_{0}). Enfin, si |b| > 1, (v_{n}) diverge.

La série ∑ u_{n} a pour terme général s_{n} = ∑_{k=0}^{n} u_{k} = ∑_{k=0}^{n} u_{0} + n.a soit encore

s_{n}=(n + 1)u_{0} + n(n + 1)a/2. Donc (s_{n}) diverge pour toute valeur de a.

La série ∑ t_{n} a pour terme général t_{n} = ∑_{k=0}^{n} v_{k} = ∑_{k=0}^{n} u_{0}b^{k} soit, après

quelques efforts, t_{n}= u_{0}(1 − b^{n+1})/(1 − b) pour b ≠ 1 et (n + 1)u_{0} pour b = 1. Si |b| < 1 alors (t_{n}) converge vers u_{0}b/(1 − b) ; sinon, elle diverge.

♢

Exercice 5.2

Touver la forme compacte de la suite arithmético-géométrique définie par u_{n} = au_{n−1} + b.

Solution :

Posons v_{n} = u_{n} + c et admettons que v_{n} = av_{n−1}. Alors, en remplaçant les u_{i} par leur valeur correspondante en v_{i} dans u_{n} = au_{n−1} + b, on trouve c=b/(a − 1) pour a ≠ 1. (v_{n}) est géométrique de raison a donc v_{n} = v_{0}a^{n} soit (u_{0} + c)a^{n} d’où u_{n} = a^{n}(u_{0} + c) − c.

♢ Chapitre 6. Solution des exercices

Exercice 5.3 Résoudre u_{n} = u_{n−1} + u_{n−2} nommée suite de F ibonacci sachant que la solution est aρ_{1}^{n} + bρ_{2}^{n} où ρ_{1} et ρ_{2} sont les racines de l’équation caractéristique associée : X^{2} = X + 1. On prendra u_{0} = u_{1} = 1. Quel est l’ordre de grandeur de u_{n}? Solution : L’équation X^{2} = X + 1 admet ρ_{1} = (1 − \sqrt{5})/2 et ρ_{2} = (1 + \sqrt{5})/2 comme racines. Si u_{n} = aρ_{1}^{n} + bρ_{2}^{n} alors pour n = 0 : a + b = 0 et pour n = 1 : a(1 − \sqrt{5}) + b(1 + \sqrt{5}) = 1 donc a = b = −1/\sqrt{5}. ρ_{1} vaut à peu près -0,618 et ρ_{2} 1,618 ; comme |ρ_{1}| < 1, ρ_{1}^{n} tend vers zéro pour n infini donc u_{n} est de l’ordre de ρ_{2}^{n} soit 1,618^{n}. ♢ Exercice 5.4 Dans le pire des cas pour la méthode de tri nommée QuickSort, le nombre L_{n} de comparaisons dans le mode de découpage (”split”) vérifie la relation L_{n} = L_{n−1} + n − 1. Quel est sa forme compacte sachant L_{0} = 0? Solution : L_{0} = 0, L_{1} = 0, L_{2} = 1, L_{3} = 1 + 2. Par récurence L_{n} = 1 + 2 + ... + (n − 1) donc L_{n} = n(n − 1)/2. Son ordre de grandeur est donc n^{2}/2. ♢ Exercice 5.5 Dans la méthode de tri nommée QuickSort, le nombre moyen F_{n} de comparaisons vérifie la relation F_{n} = n − 1 + (∑ F_{i−1} + ∑ F_{n−i})/n où à chaque fois les sommes sont prises pour i de 1 à n. Quel est son ordre de grandeur? Solution :

Comme ∑_{i=1}^{n} F_{i−1} = ∑_{i=1}^{n} F_{n−1}, F_{n} vaut (n − 1) + 2 ∑_{i=1}^{n} F_{i−1}/n. Le calcul

nF_{n} − (n − 1)F_{n−1} simplifie de nombreux termes et mène à

F_{n} = \frac{n + 1}{n}F_{n−1} + 2\frac{n − 1}{n}

La théorie générale pour résoudre x_{n} = a_{n}x_{n−1} + b_{n} dans le cas général consiste à définir y_{n} par y_{0} = x_{0} et x_{n} = y_{n}p_{n} où p_{k} désigne le produit

a_{1}a_{2}...a_{k} car alors on a seulement à résoudre y_{n} = y_{0} + ∑_{j=1}^{n} c_{j} si c_{j} = b_{j}/p_{j}.

Pour le cas qui nous intéresse, a_{n} = (n + 1)/n et b_{n} = 2(n − 1)/n donc

p_{n} = n + 1 et c_{n} se simplifie en 2\frac{n − 1}{n(n + 1)}, avec y_{0}= 0.

F_{n} se réduit donc à (n+1)y_{n} avec y_{n} = 2 ∑_{j=1}^{n} \frac{j − 1}{j(j + 1)}. Décomposant \frac{j − 1}{j(j + 1)}

en \frac{2}{j + 1} − \frac{1}{j}, une dernière simplification mène à F_{n} = 2(n + 1)H_{n} − 4n où

H_{n} est la suite harmonique ”bien connue” H_{n} = ∑_{j=1}^{n} 1/j.

Une touche d’intégration permet de prendre ∫_{1}^{n} g comme approximation de

∑_{j=1}^{n} g(j) ce qui fournit ici, pour g(j) = 1/j l’ordre de grandeur 2nlog(n).

♢

Exercice 5.6

En théorie des graphes, un ensemble indépendant est un ensemble de sommets dont aucune paire n’est reliée par une arête. Dans le pire des cas, le nombre de calculs pour trouver la taille du plus grand ensemble indépendant d’un graphe de n sommets est le nombre f_{n} qui vérifie f_{n} ≤ cn^{2} + f_{n−1} + f_{n−2}. Quel est l’ordre de grandeur de f_{n}?

Avec une optimisation classique, on aboutit aisément à la nouvelle inéquation f_{n} ≤ cn^{2} + f_{n−1} + f_{n−3}. Quel est le nouvel ordre de grandeur de f_{n}?

Solution :

Si on s’intéresse aux seuls termes f_{n}, f_{n−1} et f_{n−2} l’équation caractéristique sous-jacente est X^{2} = X + 1 qu’on a déja vu à l’exercice 5.3 dont l’ordre de grandeur de f_{n} est majoré par c^{n} = 1,619^{n}.

De plus, avec les notations du théorème fondamental g(n) = cn^{2} qui est négligable devant c^{n} donc l’ordre de grandeur est 1,619^{n}.

Chapitre 6. Solution des exercices

Avec l’optimisation, la nouvelle équation carcatéristique est X^{3} = X^{2} + 1 dont la plus grande racine est aux environs de 1,46557 et donc on peut majorer l’ordre de grandeur par 1,466^{n} ce qui est nettement meilleur que 1,619^{n}. ♢ Exercice 5.7 Combien faut-il de multiplications pour multiplier deux matrices de taille n? La méthode rapide de multiplications des matrices, dite méthode de Strassen, n’utilise que g_{m} multiplications avec g_{m} = 7g_{m−1} + 18.4^{m−1}. Y gagne-t-on vraiment quelquechose si n = 2^{m}? Solution : Puisque qu’il y a n^{2} termes à calculer pour le produit de 2 matrices n×n et que chaque terme est une somme de n termes a_{i,k}b_{k,j} on a n^{3} multiplications par la méthode normale. Pour calculer la forme compacte de g_{p} on pose, comme à l’exercice 5.5 g_{m} = y_{m}p_{m} avec ici p_{j} = 7^{j} et y_{m} = y_{m−1} + \frac{6}{2} ∑_{j=1}^{m} (\frac{4}{7})^{m}. Si on

majore par la somme totale de la série, y_{m} est inférieur ou égal à \frac{9}{2} × \frac{1}{1 − 4/7} soit 21/2 et donc finalement g_{m} a pour ordre de grandeur 7^{m}. Si n =2^{m} alors 7^{m} = 7^{log_{2}(n)} = n^{log_{2}(7)}. Comme log_{2}(7) vaut à peut près 2.81, il y a une réelle amélioration. ♢ Exercice 5.8 Montrer qu’effectivement la série de terme général 1/n ne converge pas. Vers quoi converge la série u_{n} = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} ? Solution : Si la série de terme général 1/n converge, alors la suite t_{n} de terme général t_{n} = s_{2n} − s_{n} doit tendre vers 0, où s_{n} est la suite des sommes partielles de

u_{n}, à savoir : s_{n} = ∑_{k=1}^{n} u_{k}.

Mais t_{n} = s_{2n} − s_{n} = ∑_{k=1}^{2n} u_{k} − ∑_{k=1}^{n} u_{k} ≥ ∑_{k=n+1}^{2n} 1/k donc t_{n} est supérieur à

n × 1/2n =1/2 ; or, si t_{n} est supérieur à n, la suite (t_{n}) ne peut pas tendre vers zéro. Donc ∑ 1/n diverge.

Pour la série ∑ 1/(n + 1), utilisons la décomposition des fractions ration-

nelles : \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{n + 1} − \frac{1}{n + 2} donc la somme partielle à l’ordre n

vaut 1 − 1/(n + 2) et ∑ 1/(n + 1) converge vers 1.

♢

Exercice 5.9

Donner le développement en série entière de la fonction f : x ↦ e^{−1/x^{2}} (on prolongera f par continuité en x =0). Vers quoi converge la série de f?

Retrouver le développement classique de exp, log, sin...

Solution :

Puisque ”l’exponentielle l’emporte sur la puissance”, il est raisonnable de poser par continuité f(0) = 0 et f est dérivable comme composée de fonctions dérivables. Il est simple de montrer que D(f)(0) = 0. Comme f′(x) vaut −2e^{−1/x^{2}}/x^{3}, f′ est continue en zéro de limite 0 en x = 0.

f′′(x) = (2 + 6x^{2})e^{−1/x^{2}}/x^{6} et f′′ est continue en zéro de limite 0 en x = 0. Par récurrence, f^{(k)}(0) = P (x)e^{−1/x^{2}}/x^{m}(n) où P est un polynome en x et m une fonction croissante de n à valeurs entières. Donc f^{(k)} a pour limite 0 en x = 0. f est donc une fonction non nulle dont le dl en 0 est nul à tout ordre. Un tracé rapide de f permet de comprendre pourquoi :

Si on zoome sur l’origine, on voit encore mieux pourquoi le polynome nul est la seule approximation correcte de la fonction en 0 :

exp^{(k)}(0) = 1 pour tout k, le dl de exp en 0 à l’ordre n est ∑_{k=0}^{n} x^{k}/k! + R_{n}.

sin^{(k)}(0) = sin(x + kπ/4) donc sin^{(2k)}(0) = 0, sin^{(2k+1)}(0) = (−1)^{k+1} et le

dl de sin en 0 à l’ordre n est ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k+1}x^{2k+1}/(2k + 1)! + R_{n}.

Le dl de log en 0 n’a aucun sens. Par contre, celui de x ↦ log(1+x) d’obtient en intégrant le dl de la dérivée : log(1 + x)′ = 1/(1 = x), d’où :

\frac{1}{1 + x} = 1 − x + x^{2} − x^{3} + ... = ∑(−1)^{k}x^{k}. Le dl de x ↦ log(1 + x) en 0 est

donc ∑(−1)^{k}x^{k+1}/(k + 1).

♢ Chapitre 6. Solution des exercices

Exercice 5.10 Donner la série de F ourier de f où f(x) = sin(x). Donner la transformée de F ourier de la fonction g, 2π-périodique définie par g(x) = x^{2} pour x ∈ [0,2π]. En déduire ∑ \frac{1}{n^{2}} . Donner la transformée de F ourier de la fonction h, 4π-périodique si h(x) = x pour x ∈ [0,2]. Solution : Comme sin(x) = 0+1.sin(x)+0.sin(2x)+0.sin(3x), et puisque le développement en série de F ourier est unique, le développement en série de F ourier de sin est sin. Si g(x) = x^{2}, a_{0} vaut ∫_{0}^{2π} x^{2}dx/π soit 8π^{2}/3. De plus, intégrant en parties deux fois, dont la première avec dv = cos(nx) et u = x^{2}, on a :

a_{n} = ∫_{0}^{2π} x^{2}cos(nx)dx/π = \frac{1}{π} [x^{2} \frac{sin(nx)}{n} − 2x\frac{−cos(nx)}{n^{2}} + 2\frac{−sin(nx)}{n^{3}}]_{0}^{2π}

soit, après simplification, a_{n} = 4/n^{2}.

b_{n} = ∫_{0}^{2π} x^{2}sin(nx)dx/π = \frac{1}{π} [x^{2} \frac{−cos(nx)}{n} − 2x\frac{−sin(nx)}{n^{2}} + 2\frac{cos(nx)}{n^{3}}]_{0}^{2π}

soit, après simplification, b_{n} = −4π/n.

On peut donc écrire F(g)(x) = \frac{4π^{2}}{3} ∑_{n=1}^{n} \frac{4}{n} (\frac{cos(nx)}{n} − πsin(nx)).

En x = 0, le théorème de Dirichlet permet d’écrire 4\frac{π^{2}}{3} +∑_{n=1}^{n} \frac{4}{n^{2}} = \frac{1}{2} (0 + 4π^{2}) d’où, après simplification ∑ 1/n^{2} = π^{2}/6. Si h est paire et 4π-périodique et si h(x) = x pour x ∈ [0,2] alors b_{n} vaut 0, a_{0} est 2 et a_{n} vaut −\frac{4}{n^{2}π^{2}} (cos(nπ) − 1) en intégrant en parties, c’est à dire a_{n} = 0 si n = 2k et a_{n} = −8/n^{2}π^{2} si n = 2k + 1.

Chapitre 6. Solution des exercices

En considérant la fonction k paire 2π-périodique définie par k(x) = sin(x) pour x ∈ [0,π], on trouverait le développement de sin en une série de cosinus :

F(sin)(x) = \frac{2}{π} (1 − ∑_{n≥2} \frac{1 + cos(nπ)}{n^{2} − 1}cos(nx)) = \frac{2}{π} (1 − 2 ∑_{n≥2} \frac{cos(2nx)}{4n^{2} − 1})

♢ Exercice 5.11 Appliquer l’identité de P arseval à la fonction de l’exercice à l’une des fonctions de l’exercice précédent pour en déduire ∑ \frac{1}{n^{4}} . Solution : L’identité de Parseval appliquée à l’extension paire de f : x ↦ x considérée comme fonction pérodique de période 4 et définie par f(x) = x x ∈ [0,2],

donne \frac{8}{3} = 2 + ∑_{n=2k+1} \frac{64}{n^{4}π^{4}} donc la somme T = ∑_{n=2k+1} \frac{1}{n^{4}} vaut π^{4}/96.

Décomposant S = ∑_{n} \frac{1}{n^{4}} en ∑_{n=2k} \frac{1}{n^{4}} + ∑_{n=2k+1} \frac{1}{n^{4}} et puisque (2n)^{4} = 16n^{4}, on déduit que S = S/16 + T soit finalement S = π^{4}/90. ♢

Bibliographie

P. Goujon Mathématiques de base pour les linguistes Hermann, Collection Méthodes

G. Chazal Eléments de logique formelle Editions Hermès

R. Godement Cours d’algèbre Hermann

C. Jacquemin Logique et Mathématique pour l’informatique Masson, Collection Mémo-guides.

A. Arnold, I. Guessarian Mathématiques pour l’informatique Masson, Collection LMI (Logique, Mathématique, Informatique).

On pourra consulter également avec profit

C. Gomez, B. Salvy, P. Zimmerman Calcul formel : mode d’emploi ; exemples en Maple Masson, Collection LMI (Logique, Mathématique, Informatique).

S. Lang Analysis I Addison Wesley

H. Cohen A course in Computational Algebraic Number Theory Springer, GTM (Graduate Texts in Mathematics).