%
% xmps9705.tex
%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\def\bidng{\ensuremath{[\hspace{-0.45em}[}}
\def\bidnd{\ensuremath{]\hspace{-0.45em}]}}
\def\N{\mbox{I\hspace{-0.11em}N}}
\parindent      0.0cm
\parskip        0.1cm
%
\begin{document}
{\Large \textbf{G. Hunault} \hspace{6cm}}
\textit{Angers, mai 97}

{\Large Licence Informatique}\\[1.2cm]

\begin{center}
{\LARGE Examen de Probabilit\'{e}s et Statistiques }

\end{center}
\vskip 2.3cm
%
\section{Statistiques Descriptives}
%

Il n'est pas tr\`{e}s difficile de trouver dans la presse sp\'{e}cialis\'{e}e des
caract\'{e}ristiques d'ordinateurs. Nous fournissons un exemple de telles
donn\'{e}es dans le document annexe. La colonne
\textsf{FRQ} donne la fr\'{e}quence du micro-processeur utilis\'{e},
la colonne \textsf{DSQ} donne le temps d'acc\`{e}s moyen du disque dur,
\textsf{TCP} correspond au type de CPU (1 pour $Intel$, 2 pour $Cyrix$),
\textsf{CAH} indique le type de cache utilis\'{e}
(codes :  0=128K de cache, 1=256 K, 2= 512 K),
\textsf{CVI} indique le type de carte vid\'{e}o (1=SVGA normale, 2= autre),
\textsf{GIG} est la taille du disque dur (en Giga-Octets).

Effectuer une analyse statistique g\'{e}n\'{e}rale des colonnes. Vous d\'{e}taillerez le type
des variables, vous soignerez l'affichage (dit "intelligent") des r\'{e}sultats. Pour les
variables quantitatives, vous essaierez de d\'{e}tecter les liaisons lin\'{e}aires que vous
fournirez si $\rho$ est sup\'{e}rieur \`{a} 0.8 seulement.

Apr\`{e}s ces calculs, vous essaierez de commenter les valeurs r\'{e}sum\'{e}es obtenues.
%
\section{Calcul algorithmique de la loi $\mathcal{H}${}$(N,D,n)$}
%
Soit $X$ la \textit{v.a.} "loi hyperg\'{e}om\'{e}trique" $\mathcal{H}${}$(N,D,n)$ :
% on tire n valeurs sans remise dans N boules dont D sont d\'{e}fectueux
% X est la loi "nombre de d\'{e}fectueux"
$X$ prend les valeurs enti\`{e}res $k=a,a+1,a+2\ ...\ b$
o\`{u} $a=max(0,D+n-N)$ et $b=min(D,n)$. La valeur $k$ a pour probabilit\'{e}
$p_k=C_D^k.C_{N-D}^{n-k}/C_N^n$.

\begin{itemize}
\item Expliciter les valeurs de $k$ et $p_k$ pour $N=6$, $D=3$ et $n=2$.
\item Donner, en respectant
la syntaxe algorithmique du cours, un algorithme qui calcule
la moyenne de $X$ pour $n$, $N$ et $D$ donn\'{e}s~; on supposera
connue la fonction $C(n,p)$ qui calcule $C_n^p$.
\end{itemize}
%
\section{Loi Uniforme Discr\`{e}te G\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e}
%
On appelle \textit{Loi Uniforme Discr\`{e}te G\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e} sur
$\bidng\ a,b\ \bidnd$
not\'{e}e \textsf{UDG}$(a,b)$
la loi constante qui prend toutes les valeurs enti\`{e}res entre $a$ et $b$.

\begin{itemize}
\item Expliciter les valeurs de \textsf{UDG}$(-3,5)$, sa moyenne et son \'{e}cart-type
\item Fournir dans le cas g\'{e}n\'{e}ral la moyenne et l'\'{e}cart-type de \textsf{UDG}$(a,b)$
\end{itemize}


%
\section{Approximation d'effectifs}
%
Soit $x_i$ le nombre de fois o\`{u} on passe le brevet de pilotage "H\'{e}licopt\`{e}re".
On fournit dans le tableau suivant le nombre $n_i$ de personnes ayant
obtenu ce brevet au bout de $x_i$ fois exactement.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &   0 &  1 &   2 &  3 &  4 & 5 \\ \hline
$n_i$ &  15 & 35 &  34 & 13 &  2 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Donner le nombre total de personnes, la moyenne et la variance
du nombre de fois.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi binomiale.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi de Poisson.
\item Conclure en comparant ces approximations.
\end{itemize}

On n'oubliera pas de d\'{e}tailler les calculs, de justifier les effectifs
th\'{e}oriques r\'{e}els et arrondis, de fournir le $\chi^2$ utilis\'{e}, le nombre de
degr\'{e}s de libert\'{e} \textit{etc.}
%
\newpage
\section{Application de la convergence en loi}
%
On met 300 jetons de couleurs dans un sac : 3 sont bleus et les autres
sont rouges. On veut tirer avec remise $j$ jetons. A partir de quelle
valeur de $j$ aura-t-on une probabilit\'{e} sup\'{e}rieure \`{a} 95 \% :
de tirer au moins une fois un jeton bleu
\begin{itemize}
\item par un calcul direct bas\'{e} sur la loi binomiale ?
\item par un calcul approch\'{e} bas\'{e} sur la loi de Poisson \'{e}quivalente ?
\end{itemize}
Conclure en comparant les valeurs de $j$ obtenues.
%
\section{Convergence}
%
Soient $X_i$ des variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes toutes de m\^{e}me loi
de Poisson $\mathcal{P}${}$(1)$ et soit
$S_n=\displaystyle \sum_{i=1}^n\ X_i$.
%Admettant que $S_n$ a pour loi $\mathcal{P}${}$(n)$,
Trouver la loi de $S_n$ et %Admettant que $S_n$ a pour loi $\mathcal{P}${}$(n)$,
calculer la limite de la suite $(T_n)_{n\in\N^*}$ si
$T_n=e^{-n} \displaystyle \sum_{k=0}^n \displaystyle \frac{n^k}{k!}$.

$Indication$ : on pourra consid\'{e}rer les \'{e}v\'{e}n\`{e}nements
$\left\{\ \displaystyle \frac{S_n-n}{\sqrt{n}}\leq 0\ \right\}$.
%
\newpage
\begin{center}
{\Large DOCUMENT ANNEXE}
\end{center}

\begin{verbatim}

        MARQUE      FRQ   DSQ   TCP   CAH   CVI      GIG
        Compaq 1    166    15     1     0     1     2.00
        Compaq 2    150    20     1     0     2     1.70
        Compaq 3    166    20     1     1     2     4.20
        Ibm 1       120    18     2     0     1     1.40
        Ibm 2       155    18     2     1     1     1.70
        Ibm 3       180    14     2     1     2     2.80
        Ibm 4       180    14     2     1     2     4.50
        Ibm 5       200    11     2     2     2     6.50
        Hp 1        133    14     1     0     1     1.20
        Hp 2        170    12     1     2     2     3.60

\end{verbatim}

On fournit de plus les sommes \'{e}l\'{e}mentaires suivantes :

\begin{verbatim}

      FRQ    DSQ    TCP    CAH    CVI       GIG
     1620    156     15      8     16     29.60

\end{verbatim}

ainsi que les sommes de produits

\begin{verbatim}

      FRQ*DSQ        FRQ*GIG       DSQ*GIG
        24902        5101.30        437.50

       FRQ*FRQ    DSQ*DSQ         GIG*GIG
        267426       2526        114.1200

\end{verbatim}

\end{document}
