%
% prst9709.tex
%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\def\bidng{\ensuremath{[\hspace{-0.45em}[}}
\def\bidnd{\ensuremath{]\hspace{-0.45em}]}}
\def\N{\mbox{I\hspace{-0.11em}N}}
\def\R{\mbox{l\hspace{-0.11em}R}}
\parindent      0.0cm
\parskip        0.5cm
%

\begin{document}
{\Large \textbf{G. Hunault} \hspace{6cm}}
\textit{Angers, sept. 97}

{\Large Licence Informatique}\\[1.2cm]

\begin{center}
{\LARGE Examen de Th\'{e}orie du Signal}

\end{center}
\vskip 2.3cm
%
\section{Transform\'{e}e de Fourier}
%
Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par


 \hspace{1cm} $f(x)$ = $\left\{
\begin{tabular}{ll}
$1$     &  si $|x|\leq 1$, \\
$2-|x|$ & si $1\leq |x|\leq 2$, \\
$0$     & si $|x|\geq 2$
\end{tabular}
\right.$

Repr\'{e}senter graphiquement $f$.

Trouver la transform\'{e}e de $Fourier$ de $f$~:

\begin{tabular}{ll}
\hspace{0.51cm} 1.a) & directement. \\
\hspace{0.51cm} 1.b) & en \'{e}crivant $f$ comme somme de fonctions $\Lambda$.\\
\hspace{0.51cm} 1.c) & en \'{e}crivant $f'$ comme somme de fonctions $\Pi$.
\end{tabular}
%
\section{Transform\'{e}e de Laplace}
%
Donner la transform\'{e}e de Laplace de la fonction
$x\to (x^2-1)^2$.
%
\section{Equations diff\'{e}rentielles et TL}
%
R\'{e}soudre l'\'{e}quation
$y'+2y=2t-3$
en utilisant la transform\'{e}e de Laplace.
%
\section{Syst\`{e}me diff\'{e}rentiel}
%
Trouver la solution du syst\`{e}me
$\left\{
\begin{tabular}{ll}
$\displaystyle \frac{dx}{dt}$ & = $-7x-6y+t$ \\[0.45cm]
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$ & = $-12x+10y$
\end{tabular}
\right.$

telle que
$\left\{
\begin{tabular}{ll}
$x(0)$ & = $0$ \\
$y(0)$ & = $0$
\end{tabular}
\right.$
%
\section{Etude d'un sonar marin}
%
Un $sonar$ ou sondeur acoustique fonctionne sur le principe suivant~:
une (courte) impulsion est \'{e}mise par un quartz transducteur dans le
milieu marin o\`{u} elle se propage \`{a} la vitesse de 1500 m/s. Si un obstacle
est rencontr\'{e}, une partie de l'\'{e}nergie sonore est retransmise vers le
transducteur. La distance entre l'obstacle et la sonde peut alors se
calculer en \'{e}tudiant la dur\'{e}e \'{e}coul\'{e}e entre l'\'{e}mission de l'impulsion
et la r\'{e}ception du retour d'\'{e}nergie.

On admettra qu'une salve sinusoidale $e(t)$ est envoy\'{e}e sur le transducteur
avec $e(t)=u(t)E_0sin(\omega_0t)$. On suppose de plus que $u(t)$ est rendu
pair suite \`{a} un changement d'\'{e}chelle~:
%
%  # thsi9710.plt
%  set terminal latex
%  set output 'th9709uu.tex'
%  set nokey
%  set size 1.0 , 0.5
%  set xrange [-3:9]
%  set yrange [0:3]
%  set samples 500
%  f(x) = (x<-1) ? 0 : ( (x<1) ? 1 : 0 )
%  g(x) = (x<06) ? 0 : ( (x<8) ? 1 : 0 )
%  plot f(x) with line 1 ,g(x) with line 1
%
% on modifie ensuite \`{a} la main le fichier de sortie
%

\input th9709u.tex

Calculer les coefficients $a_n$ et $b_n$ dans la  d\'{e}composition
en s\'{e}rie de Fourier $u_n=\sum a_ncos(n\omega t) + \sum b_nsin(n\omega t)$.
On admettra que $u$ est $T$-p\'{e}riodique, que le rapport cyclique de $u(t)$ est
ind\'{e}pendant de l'\'{e}chelle de profondeur, c'est \`{a} dire que $t_i=T/k$
et donc que $a_0=1/k$.

Donner alors l'\'{e}criture de la s\'{e}rie de Fourier de $e(t)$ apr\`{e}s avoir
pos\'{e} $$\alpha_n=\omega_0+n\omega \mbox{ \hspace{0.3cm} et \hspace{0.3cm} }
\beta_n=\omega_0-n\omega$$

Consid\'{e}rant que le signal $u(t)$ et donc celui de $e(t)$ est d\'{e}fini
majoritairement par ses 500 premiers harmoniques, d\'{e}terminer la
bande passante minimale n\'{e}cessaire au syst\`{e}me de r\'{e}ception pour les
valeurs num\'{e}riques suivantes~: $T=T_{max}=2s$,
$k=500$, $f_0=50kHz$.

Le sonar ainsi constitu\'{e} peut-il aussi bien d\'{e}tecter

\begin{tabular}{ll}
\hspace{0.5cm} & - des dauphins ? \\
& - des baleines ? \\
& - des bancs de petits poissons ?
\end{tabular}
%%
\newpage
\setcounter{section}{0}
\begin{center}%
{\Large \textsf{CORRECTION}}
\end{center}

\section{1. Transform\'{e}e de Fourier}

Voici la courbe de $f$
et celle de sa d\'{e}riv\'{e}e

%  # thsi9709.plt
%  set terminal latex
%  set output 'th9709f.tex'
%  set nokey
%  set size 0.5 , 0.5
%  set xrange [-4:4]
%  set yrange [0:3]
%  set samples 200
%  f(x) = (x<-2) ? 0 : ( (x<-1) ? x+ 2 : ( (x<1) ? 1 : (x<2) ? (2-x) : 0 ) )
%  plot f(x)
%  set terminal latex
%  set output 'th9709df.tex'
%  set nokey
%  set size 0.5 , 0.5
%  set xrange [-4:4]
%  set yrange [-3:3]
%  set samples 200
%  g(x) = (x<-2) ? 0 : ( (x<-1) ? 1    : ( (x<1) ? 0 : (x<2) ? -1    : 0 ) )
%  plot g(x)
\input th9709f.tex
\input th9709df.tex

Le calcul direct donne
$$F(\nu)=2\int_0^2\ f(x)cos(2\pi\nu x)dx =%
\frac{cos(2\pi\nu) - cos(4\pi\nu)}{2\pi^2\nu^2}$$

$f$ admet comme d\'{e}composition en somme de fonctions $\Lambda$~:
$$f(x)=\Lambda(x+1)+\Lambda(x)+\Lambda(x-1)$$
d'o\`{u} la somme de transform\'{e}es~:
$$F(\nu)=\frac{sin^2(\pi\nu)(\ e^{2i\pi\nu}+1+e^{-2i\pi\nu}\ )}{\pi^2\nu^2}=%
\frac{sin^2(\pi\nu)(1+2cos(2\pi\nu))}{\pi^2\nu^2}$$
%ce qu'on peut donc simplifier en

La d\'{e}riv\'{e}ee de $f$ admet comme d\'{e}composition en somme de fonctions $\Pi$~:
$$f'(x)=\Pi(x+3/2)-\Pi(x-3/2)$$
d'o\`{u} par int\'{e}gration la sommme
$$2i\pi\nu F(\nu)=%
\frac{sin(\pi\nu)(\ e^{-2i\pi\nu(-3/2)}-e^{-2i\pi\nu(3/2)}\ )}{\pi\nu}=%
\frac{sin(\pi\nu)sin(3\pi\nu)}{\pi^2\nu^2}$$

Des manipulations \'{e}l\'{e}mentaires de trigonom\'{e}trie montrent que ces
trois formules sont \'{e}quivalentes.
%
\section{Transform\'{e}e de Laplace}
%
Il suffit de d\'{e}velopper le carr\'{e} et d'appliquer
la formule $$f(x)=x^n\Rightarrow L_f(p)=n!/p^{n+1}$$
terme \`{a} terme par lin\'{e}arit\'{e} soit la solution
$$L_f(p)=\frac{24}{p5}- \frac{4}{p3}+\frac{1}{p}$$
%
\section{Equations diff\'{e}rentielles et TL}


En appliquant l'op\'{e}rateur $\pounds$ \`{a} l'\'{e}quation, on obtient

$$\mbox{ \hspace{0.3cm} } \pounds(y')+2\pounds(y)=2\pounds(t)-3\pounds(1)$$%
%\mbox{ \hspace{0.5cm} soit \hspace{0.5cm} } %
soit
$$p\pounds(y)-y(0)+2\pounds(y)=\frac{2}{p^2}-\frac{3}{p}$$

Isolant $\pounds(y)$ on en d\'{e}duit
$$\pounds(y)=\frac{p^2y(0)-3p+2}{p^2(p+2)}=%
\frac{1}{p^2}-\frac{2}{p}+\frac{2+y(0)}{p+2}$$

La solution est donc
$$y(t)=t-2+(\ 2+y(0)\ )e^{-2t}$$

Pour la d\'{e}composition en \'{e}l\'{e}ments simples, on peut respectivement
multiplier par $p^2$ et faire $p=0$,
multiplier par $p+2$ et faire $p=-2$,
prendre $p=-1$.
%
\newpage
\section{Syst\`{e}me diff\'{e}rentiel}
%
On trouve facilement
$$X=\displaystyle\frac{p-10}{p^2(p-1)(p-2)}$$

$$Y=\displaystyle\frac{12}{p^2(p-1)(p-2)}$$  soit encore
$$X=\displaystyle\frac{-5}{p^2}
-\displaystyle\frac{7}{p}
+\displaystyle\frac{9}{p-1}
-\displaystyle\frac{2}{p-2}$$

$$Y=\displaystyle\frac{6}{p^2}
+\displaystyle\frac{9}{p}
-\displaystyle\frac{12}{p-1}
+\displaystyle\frac{3}{p-2}$$ donc
$$x(t)=(-5t+7+9e^t-2e^{2t}){\mathcal{U}}(t)$$

$$y(t)=(6t+9-12e^t+3e^{2t}){\mathcal{U}}(t)$$
%
\section{Etude d'un sonar marin}
%
Puisque $f$ est paire, les $b_n$ sont nuls.

$a_n$ vaut $\displaystyle\frac{2}{T}
\displaystyle\int_{-t_i/2}^{t_i/2}\,cos(n\omega t)dt$
soit
$a_n=\displaystyle\frac{2}{n\pi}sin\left(\displaystyle\frac{n\pi}{k}\right)$.

Pour obtenir la s\'{e}rie de Fourier de $e(t)$  il suffit de d\'{e}velopper
les produits $cos(...)sin(...)$ dans
$e(t)=u(t)E_0sin(\omega_0t)
=\left(a_0+\displaystyle\sum a_ncos(n\omega t)\right)E_0sin(\omega_0t)$
ce qui fournit, avec les $\alpha_n$ et $\beta_n$ propos\'{e}s

$e(t)=c_0E_0sin(\omega_0t)+\displaystyle\sum\displaystyle%
\frac{E_0a_n}{2}\left(\ sin(\alpha_nt)+sin(\beta_nt)\ \right)$.

Pour l'application num\'{e}rique,
$a_0$ = 2 mV, $a_1$ = 3.9 mV,
$a_{200}$ = 3 mV, $a_{400}$ = 0.9 mV,
$f_0$ = 50 kHz,
$f_0-kf$ = 49750 kHz,
$f_0+kf$ = 50250 kHz.

Le spectre utile est constitu\'{e} de 1000 harmoniques soit une plage de $2kf$
o\`{u} $f$ est la fr\'{e}quence des salves. La bande passante doit donc \^{e}tre
au minimum de 500 Hs (centr\'{e}e sur $f_0$).
%
\end{document}
