G. Hunault Angers, sept. 97

Licence Informatique

Examen de Théorie du Signal

1. Transformée de Fourier

Soit f la fonction définie par

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & si |x| ≤ 1, \\ 2 − |x| & si 1 ≤ |x| ≤ 2, \\ 0 & si |x| ≥ 2 \end{matrix}

Représenter graphiquement f. Trouver la transformée de F ourier de f :

1.a) directement.
1.b) en écrivant f comme somme de fonctions Λ.
1.c) en écrivant f′ comme somme de fonctions Π.

2. Transformée de Laplace

Donner la transformée de Laplace de la fonction x → (x^{2} − 1)^{2}.

3. Equations différentielles et TL

Résoudre l’équation y′ + 2y = 2t − 3 en utilisant la transformée de Laplace.

4. Système différentiel

Trouver la solution du système \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = −7x − 6y + t \\ \frac{dy}{dt} & = −12x + 10y \end{matrix}

telle que \{ \begin{matrix}x(0) & = 0 \\ y(0) & = 0 \end{matrix}

5. Etude d’un sonar marin

Un sonar ou sondeur acoustique fonctionne sur le principe suivant : une (courte) impulsion est émise par un quartz transducteur dans le milieu marin où elle se propage à la vitesse de 1500 m/s. Si un obstacle est rencontré, une partie de l’énergie sonore est retransmise vers le transducteur. La distance entre l’obstacle et la sonde peut alors se calculer en étudiant la durée écoulée entre l’émission de l’impulsion et la réception du retour d’énergie.

On admettra qu’une salve sinusoidale e(t) est envoyée sur le transducteur avec e(t) = u(t)E_{0}sin(ω_{0}t). On suppose de plus que u(t) est rendu pair suite à un changement d’échelle :

0^{1}  ^{0} \frac{−t_{i}}{2}  \frac{+t_{i}}{2}  \frac{T − t_{i}}{2} \frac{T + t_{i}}{2}

Calculer les coefficients a_{n} et b_{n} dans la décomposition en série de Fourier u_{n} = ∑ a_{n}cos(nωt) + ∑ b_{n}sin(nωt). On admettra que u est T -périodique, que le rapport cyclique de u(t) est indépendant de l’échelle de profondeur, c’est à dire que t_{i} = T/k et donc que a_{0} = 1/k.

Donner alors l’écriture de la série de Fourier de e(t) après avoir posé

α_{n} = ω_{0} + nω et β_{n} = ω_{0} − nω

Considérant que le signal u(t) et donc celui de e(t) est défini majoritairement par ses 500 premiers harmoniques, déterminer la bande passante minimale nécessaire au système de réception pour les valeurs numériques suivantes : T = T_{max} = 2s, k = 500, f_{0} = 50kHz.

Le sonar ainsi constitué peut-il aussi bien détecter

- des dauphins ?

- des baleines ?

- des bancs de petits poissons ?

CORRECTION

1. 1. Transformée de Fourier

Voici la courbe de f et celle de sa dérivée

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  ^{-3 -2 -1 0 1 2 3-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4}

Le calcul direct donne

F (ν) = 2 ∫_{0}^{2} f(x)cos(2πνx)dx = \frac{cos(2πν) − cos(4πν)}{2π^{2}ν^{2}}

f admet comme décomposition en somme de fonctions Λ :

f(x) = Λ(x + 1) + Λ(x) + Λ(x − 1)

d’où la somme de transformées :

F (ν) = \frac{sin^{2}(πν)( e^{2iπν} + 1 + e^{−2iπν} )}{π^{2}ν^{2}} = \frac{sin^{2}(πν)(1 + 2cos(2πν))}{π^{2}ν^{2}}

La dérivéee de f admet comme décomposition en somme de fonctions Π :

f′(x) = Π(x + 3/2) − Π(x − 3/2)

d’où par intégration la sommme

2iπνF (ν) = \frac{sin(πν)( e^{−2iπν(−3/2)} − e^{−2iπν(3/2)} )}{πν} = \frac{sin(πν)sin(3πν)}{π^{2}ν^{2}}

Des manipulations élémentaires de trigonométrie montrent que ces trois formules sont équivalentes.

2. Transformée de Laplace

Il suffit de développer le carré et d’appliquer la formule

f(x) = x^{n} ⇒ L_{f}(p) = n!/p^{n+1}

terme à terme par linéarité soit la solution

L_{f}(p) = \frac{24}{p5} − \frac{4}{p3} + \frac{1}{p}

3. Equations différentielles et TL

En appliquant l’opérateur £ à l’équation, on obtient

£(y′) + 2£(y) = 2£(t) − 3£(1)

soit

p£(y) − y(0) + 2£(y) = \frac{2}{p^{2}} − \frac{3}{p}

Isolant £(y) on en déduit

£(y) = \frac{p^{2}y(0) − 3p + 2}{p^{2}(p + 2)} = \frac{1}{p^{2}} − \frac{2}{p} + \frac{2 + y(0)}{p + 2}

La solution est donc

y(t) = t − 2 + ( 2 + y(0) )e^{−2t}

Pour la décomposition en éléments simples, on peut respectivement multiplier par p^{2} et faire p = 0, multiplier par p + 2 et faire p = −2, prendre p = −1.

4. Système différentiel

On trouve facilement

X = \frac{p − 10}{p^{2}(p − 1)(p − 2)}

Y = \frac{12}{p^{2}(p − 1)(p − 2)}

soit encore

X = \frac{−5}{p^{2}} − \frac{7}{p} + \frac{9}{p − 1} − \frac{2}{p − 2}

Y = \frac{6}{p^{2}} + \frac{9}{p} − \frac{12}{p − 1} + \frac{3}{p − 2}

donc

x(t) = (−5t + 7 + 9e^{t} − 2e^{2t})U(t)
y(t) = (6t + 9 − 12e^{t} + 3e^{2t})U(t)

5. Etude d’un sonar marin

Puisque f est paire, les b_{n} sont nuls.

a_{n} vaut \frac{2}{T} ∫_{−t_{i}/2}^{t_{i}/2} cos(nωt)dt soit a_{n} = \frac{2}{nπ} sin (\frac{nπ}{k} ).

Pour obtenir la série de Fourier de e(t) il suffit de développer les produits cos(...)sin(...) dans e(t) = u(t)E_{0}sin(ω_{0}t) = (a_{0} + ∑ a_{n}cos(nωt)) E_{0}sin(ω_{0}t) ce qui fournit, avec les α_{n} et β_{n} proposés

e(t) = c_{0}E_{0}sin(ω_{0}t) + ∑ \frac{E_{0}a_{n}}{2} ( sin(α_{n}t) + sin(β_{n}t) ).

Pour l’application numérique, a_{0} = 2 mV, a_{1} = 3.9 mV, a_{200} = 3 mV, a_{400} = 0.9 mV, f_{0} = 50 kHz, f_{0} − kf = 49750 kHz, f_{0} + kf = 50250 kHz.

Le spectre utile est constitué de 1000 harmoniques soit une plage de 2kf où f est la fréquence des salves. La bande passante doit donc être au minimum de 500 Hs (centrée sur f_{0}).