G. Hunault Angers, nov. 97

Licence Informatique

Examen de Probabilités et Statistiques

On pourra utiliser sans démonstration les résultats suivants

\begin{matrix}a) & lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{n} 1/k^{2} = π^{2}/6 \\ b) & n → +∞ ⇒ ∑_{k=1}^{n} 1/k → ∞ \end{matrix}

1. Comparaisons de probabilités

Soient (E, T , p) un espace probabilisé, A, B, C des sous-ensembles de E. On note \overline{X} le complémentaire de X dans E et on suppose donnés n sousensembles de E notés A_{i} pour i de 1 à n.

1.a) Comparer à l’aide de ≤ les nombres p(A ∩ B) et p(A) − p(\overline{B}).
1.b) Comparer à l’aide de ≤ les nombres p(A ∩ B ∩ C)
et 1 − p(\overline{A}) − p(\overline{B}) − p(\overline{C}).
1.c) Comparer à l’aide de ≤ les nombres p( ⋂_{i=1}^{n} A_{i}) et 1 − ∑_{i=1}^{n} p( \overline{A}_{i}).
1.d) Peut-on en déduire p( ⋃_{i=1}^{n} A_{i}) ≥ ∑_{i=1}^{n} p( A_{i}) ?

On soignera les majorations et la justification des inégalités.

2. Produit de lois

Le produit Z de deux lois binomiales X et Y est-il une loi binomiale

2.a) dans le cas général ?
2.b) si X et Y sont indépendantes ?

3. Variable discrète sans moyenne

Est-il possible d’avoir une variable aléatoire discrète infinie dénombrable qui prend les valeurs 1, 2...i,... dont les probabilités p_{i} sont non nulles et dont la moyenne n’existe pas ? Donnez un exemple d’une telle v.a. ou démontrez qu’une telle v.a. ne peut pas exister.

4. Probabilité discrète et concrète

Un programmeur en assembleur estime qu’il a une probabilité p/8 d’avoir mis un cycle de trop dans un calcul de décalage de registres, calcul qui se décompose en 8 sous-programmes. Ce programmeur a relu en détail les 7 premiers premiers sous-programmes et il n’a pas trouvé de cycle en trop. Quelle est la probabilité f(p) que le cycle de trop soit dans le 8ième sousprogramme ?

5. Dites-moi oui, je vous dirais non !

Des étudiant(e)s malin(e)s décident de tricher et de se passer la réponse à une question d’examen. Toutfois, pour éviter de se faire prendre, le message passé se réduit à oui ou non. Chaque personne (et il y en a n, notée E_{i} pour i de 1 à n) transmet le message reçu avec une probabilité v et l’autre message avec une probabilité f. Soit X_{n} le message reçu par le i-ième élève. Supposant que E_{0} transmet oui à E_{1}, calculer la probabilité p_{n} que E_{n} reçoive oui. Y aurait-il un modèle classique et connu sous-jacent ?

6. Formule de Bayes

Une récente enquête auprès de jeunes ”ché(e)brans” montre que les Deux-SontTrois sont un groupe ”firimique”. L’enquête a porté sur 3 groupes de jeunes, notés A, B et J. Le nombre de personnes interrogées dans chaque groupe et le nombre de voix pour le groupe est fourni dans le tableau suivant

Nombre de jeunes  % de ”pour” dans le groupe

Groupe A  16  60

Groupe B  24  40

Groupe J  40  48

Justifiez vos réponses aux questions suivantes

6.a) Quelle est la probabilité qu’un jeune au hasard dans A,B ou J

soit pour le groupe ?

6.b) Sachant qu’un jeune est pour le groupe, quelle est la probabilité

qu’il soit dans le groupe A ?

7. Etude d’une variable continue

Une variable aléatoire continue trapézoidale notée T (a, α, h, β, b) est composée d’un segment droite oblique joignant f(a) = 0 à f(α) = h puis d’un segment de droite horizontal entre x = α et x = β à la hauteur h puis d’un segment droite oblique joignant f(β) = h à f(b) = 0 comme indiqué sur le schéma de la page suivante. Donner dans le cas général l’équation des droites du trapèze et la valeur de la moyenne de T (a, α, h, β, b). Application : on prend a = 1, α = 2, β = 5, b = 7. Donnez la valeur numérique de h et de la moyenne.

Notant 1_{[u,v]} la fonction caractéristique de l’intervalle [u, v] c’est à la dire la fonction qui vaut 1 pour x ∈ [u, v] et 0 ailleurs, écrire la densite de la variable trapézoidale comme combinaison linéaire de trois fonction caractéristiques bien choisies.

Représentation graphique de la densité de T (a, α, h, β, b)

0^{h}  ^{a} α  β  ^{b}

8. Jeux de dés ”rebelges”

Un dé ”rebelge” comporte cinq faces mais seul quatre chiffres sont inscrits ; on pourra considérer un dé ”rebelge” comme un dé pour lequel sur la face portant le numéro 5 on a mis un deuxième numéro 4. Donnez pour deux dés rebelges le coefficient de corrélation linéaire entre les variables aléatoires somme et produit des dés. On détaillera le détail des calculs des probabilités, moyennes, (co)variances etc.

Corrigé

1. Comparaisons de probabilités

Par définition d’une probabilité p, on a p(X) ≤ 1 pour tout X. Prenant X = A ∪ B et avec la formule classique p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) on en déduit aisément p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ≤ 1 soit, en passant p(A ∩ B) à droite et en remplaçant p(B) − 1 par −p(\overline{B}) :

p(A) − p(\overline{B}) ≤ p(A ∩ B)

Cette formule s’écrit aussi 1 − p(\overline{A}) − p(\overline{B}) ≤ p(A ∩ B). Si maintenant on écrit p(A ∩ B ∩ C) sous la forme p( (A ∩ B) ∩ C ), avec le résultat précédent, on a p(A ∩ B) − p(\overline{C}) ≤ p(A ∩ B ∩ C) et en réapplicant la même formule : p(A) − p(\overline{B}) − p(\overline{C}) ≤ p(A ∩ B ∩ C) soit finalement, en remplaçant p(A) par 1 − p(\overline{A}) :

1 − p(\overline{A}) − p(\overline{B}) − p(\overline{C}) ≤ p(A ∩ B ∩ C)

Puisque 1−p(\overline{A_{1}})−p(\overline{A_{2}}) ≤ p(A_{1}∩A_{2}), supposant 1−∑_{i=1}^{n−1} p( \overline{A}_{i}) ≤ p( ⋂_{i=1}^{n−1} A_{i})

alors p( ⋂_{i=1}^{n} A_{i}) = p( ( ⋂_{i=1}^{n−1} A_{i}) ∩ A_{n} )
≥ p( ⋂_{i=1}^{n−1} A_{i}) − p(\overline{A_{n}})
≥ 1 − ∑_{i=1}^{n−1} p( \overline{A}_{i}) − p(\overline{A_{n}})
= 1 − ∑_{i=1}^{n} p( \overline{A}_{i})

La relation

1 − ∑_{i=1}^{n} p( \overline{A}_{i}) ≤ p( ⋂_{i=1}^{n} A_{i})

est donc démontrée par récurence. On ne peut bien sûr pas en déduire

p( ⋃_{i=1}^{n} A_{i}) ≥ ∑_{i=1}^{n} p( A_{i}) puisque c’est la relation inverse qui est vraie déjà à

l’ordre deux : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ≤ p(A) + p(A).

On montre par récurence en écrivant ⋃_{i=1}^{n} A_{i} = ( ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i}) ∪ A_{n} que

p( ⋃_{i=1}^{n} A_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{n} p( A_{i})

2. Produit de lois

Le produit Z de deux lois binomiales X = B(n_{1}, p_{1}) et Y = B(n_{2}, p_{2}) n’est pas en général une loi binomiale car cela devrait être la loi B(n_{1}n_{2}, ...) or si X prend toutes les valeurs entre 0 et n_{1} et si Y prend toutes les valeurs entre 0 et n_{2}, Z = XY ne prend pas toutes les valeurs entre 0 et n_{1}n_{2}. Pour s’en convaincre, il suffit de regarder le contre-exemple n_{1} = 2, n_{2} = 3 ; la valeur 5 qui est bien inférieure à n_{1}n_{2}=6 ne peut être atteinte par aucun produit. L’hypothèse d’indépendance ne sert donc à rien ici.

Par contre pour le cas particulier n_{1} = 1 = n_{2}, donc si X et Y sont en fait des lois de Bernoulli, Z est alors une loi de Bernoulli et donc une loi binomiale. Plus précisément si X = B(1, p_{1}) = b(p_{1}) et Y = B(1, p_{2}) = b(p_{2}) alors Z = b(p) = B(1, p) et pour X et Y indépendantes, p = p_{1}p_{2}.

3. Variable discrète sans moyenne

Considérons la v.a. discrète infinie qui prend les valeurs 1,2,...n... avec comme probabilité p_{i} = (6/π^{2})1/i^{2}. Compte-tenu des relations fournies en début de sujet, les p_{i} ont pour somme 1. Ce sont clairement des nombres positifs et puisque 6 < π^{2} ce sont des nombres inférieurs à 1. Notre v.a. est donc bien définie. Sa moyenne est donnée par la formule ∑ ip_{i} c’est à dire (6/π^{2}) fois la deuxième limite fournie. Cette valeur étant infinie, notre variable n’admet pas de moyenne.

4. Probabilité discrète et concrète

Notons S_{i} l’évènement ”l’erreur est dans le sous-programme numéro i où i varie de 1 à 8. Le nombre f(p) demandé correspond à la probabilité condi-

tionnelle p(S_{8}|_{T}) si T désigne l’évènement ⋂_{j=1}^{j=7} \overline{S}_{j}. Comme l’énoncé ne précise

rien, nous supposerons les sous-programmes équi-probables. Les sous-programmes définissent un système complet d’évènements, donc

p(T) = 1 − p( ⋃_{j=1}^{j=7} S_{j}) = 1 − 7.(p/8)

d’où f(p) = (p/8)/(1 − 7p/8) soit f(p) = p/(8 − 7p).

5. Dites-moi oui, je vous dirais non !

L’énoncé indique clairement que p_{1} = 1. Pour n > 1, on obtient oui pour E_{n} si, de façon disjointe, E_{n−1} a reçu oui et s’il transmet le message ou si E_{n−1} a reçu non et s’il ne transmet pas le message.

Nous pouvons donc calculer

p_{n} = p(X_{n} = ”oui”)
= p( (X_{n} = ”oui”) ∩ (X_{n−1} = ”oui” ⊔ X_{n−1} = ”non”) )

= p( (X_{n} = ”oui” ∩ X_{n−1} = ”oui”) ⊔ (X_{n} = ”oui” ∩ X_{n−1} = ”non”) )

= p(X_{n} = ”oui”|X_{n−1} = ”oui”)p(X_{n−1} = ”oui”)
+ p(X_{n} = ”oui”|X_{n−1} = ”non”)p(X_{n−1} = ”non”)
= p_{n−1}.v + (1 − p_{n−1}).f
= (v − f)p_{n−1}.v + f

Avec un peu de connaissances en mathématiques sur les suites récurentes, on en déduit que p_{n} = (1 + (v − f)^{n−1})/2.

6. Formule de Bayes

Soit F l’évènement on est pour le groupe. Comme A, B et J forment un système complet d’évènements

F = F ∩ ( A ⊔ B ⊔ J ) = (F ∩ A) ⊔ (F ∩ B) ⊔ (F ∩ J)

On en déduit donc que

p(F) = p(A)p(F |A) + p(B)p(F |B) + p(J)p(F |J)

= (16/80)0,6 + (24/80)0,4 + (40/80)0,48 = 0,2x0,6 + 0,3x0,4 + 0,5x0,48 = 0,48

Comme p(A|F) = p(A)p(F |A)/( p(A)p(F |A) + p(B)p(F |B) + p(J)p(F |J) ), on obtient (16/80)x0,6/((16/80)x0,6 + (24/80)x0,4 + (40/80)x0,48 ) donc p(A|F) vaut 0,2x0,6/(0,2x0,6+0,3x0,4+0,5x0,48) soit finalement 0,25.

7. Etude d’une variable continue

La partie entre a et α est un segment de droite qui s’annule en x = a donc D_{1}(x) = K_{1}.(x − a) comme D_{1}(α) vaut h on en déduit K_{1} = h/(α − a). De même, la partie entre β et b est un segment de droite qui s’annule en x = b donc D_{3}(x) = K_{3}.(x−a) comme D_{3}(β) vaut h on en déduit K_{3} = h/(β −ba). Enfin, la partie entre α et β est constante et vaut h donc D_{2}(x) = h. On peut résumer ces informations avec les fonctions caractéristiques d’ensemble :

f(x) = K_{1}.1_{[a,α]} + h.1_{[α,β]} + K_{3}.1_{[β,b]}

La moyenne m vaut ∫_{0}^{α} IdD_{3} + ∫_{α}^{β} IdD_{2} + ∫_{β}^{b} IdD_{3} soit encore

\frac{h}{α − a} [\frac{x^{3}}{3} − a\frac{x^{2}}{2} ]_{a}^{α} + h [\frac{x^{2}}{2} ]_{α}^{β} \frac{h}{β − b} [\frac{x^{3}}{3} − b\frac{x^{2}}{2} ]_{β}^{b}

d’où finalement

m = \frac{h}{α − a} (\frac{α^{3}}{3} − a\frac{α^{2}}{2} − \frac{a^{3}}{2} + \frac{a^{3}}{3} )+h (\frac{β^{2}}{2} − \frac{α^{2}}{2} )+\frac{h}{b − a} (\frac{b^{3}}{3} − \frac{b^{3}}{2} − \frac{β^{3}}{3} + b\frac{β^{2}}{2} )

Numériquement, si a=1, α=2, β=5 et b=7 alors pour avoir une densité il faut (géométriquement) h(α − a)/2 + h(β − α) + h(b − β)/2=1 soit h(9/2)=1 donc h = 2/9. On trouve alors m=34/9 soit à peu près 3,778.

8. Jeux de dés ”rebelges”

Notons S la somme, P le produit et W la variable sommexproduit. Les tableaux suivant donnent une construction de ces variables.

S 1 2 3 4 4 1 2 3 4 5 5 2 3 4 5 6 6 3 4 5 6 7 7 4 5 6 7 8 8 4 5 6 7 8 8  P 1 2 3 4 4 1 1 2 3 4 4 2 2 4 6 8 8 3 3 6 9 12 12 4 4 8 12 16 16 4 4 8 12 16 16  W 1 2 3 4 4 1 2 6 12 20 20 2 6 16 30 48 48 3 12 30 54 84 84 4 20 48 84 128 128 4 20 48 84 128 128

On obtient donc comme valeurs et probabilités

\begin{matrix}S_{i} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 25p(S_{i}) & 1 & 2 & 3 & 6 & 5 & 4 & 4 \end{matrix}

\begin{matrix}P_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 12 & 16 \\ 25p(P_{i}) & 1 & 2 & 2 & 5 & 2 & 4 & 1 & 4 & 4 \end{matrix}

\begin{matrix}W_{i} & 2 & 6 & 12 & 16 & 20 & 30 & 48 & 54 & 84 & 128 \\ 25p(W_{i}) & 1 & 2 & 2 & 1 & 4 & 2 & 4 & 1 & 4 & 4 \end{matrix}

La moyenne de S est 140/25soit à peu près 5.6, celle de P 196/25 soit à peu près 7,84 ; pour W, m=1288/25 soit 51,52. La covariance de S et P est 7,616 et le coefficient de corrélation linéaire 0,9593.