%
% prst9709.tex
%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\def\bidng{\ensuremath{[\hspace{-0.45em}[}}
\def\bidnd{\ensuremath{]\hspace{-0.45em}]}}
\def\N{\mbox{I\hspace{-0.11em}N}}
\def\R{\mbox{l\hspace{-0.11em}R}}
\parindent      0.0cm
\parskip        0.1cm
%
\begin{document}
{\Large \textbf{G. Hunault} \hspace{6cm}}
\textit{Angers, sept. 97}

{\Large Licence Informatique}\\[1.2cm]

\begin{center}
{\LARGE Examen de Probabilit\'{e}s et Statistiques }

\end{center}
\vskip 2.3cm
%
\section{Combinaisons avec r\'{e}p\'{e}titions}
%
On appelle combinaison avec r\'{e}p\'{e}tition de $p$ \'{e}l\'{e}ments parmi $n$
toute suite non ordonn\'{e}e de $p$ \'{e}l\'{e}ments choisis dans l'ensemble
des $n$ \'{e}l\'{e}ments fournis. Par exemple pour $n=3$ et $p=2$, avec
comme ensemble de base $\{\ a,b,c\ \}$ on a $K_n^p=6$ combinaisons
avec r\'{e}p\'{e}titions, \`{a} savoir
$$<a,a>,\ <a,b>,\ <a,c>,\ <b,b>,\ <b,c>,\ <c,c>$$
\begin{itemize}
\item[1.a)]{%n
Que vaut $K_n^1$ ?
}
\item[1.b)]{% K_n^p vaut (n-1+p)!/(n-1)!p! soit C_{n-1+p}^p
D\'{e}montrer que $K_n^p$ s'\'{e}crit $C_q^p$ pour $q$ bien choisi.
}
\item[1.c)]{% les paquets de bits
Quelles donn\'{e}es peut-on ainsi d\'{e}nombrer en informatique ?
(On pourra surtout penser \`{a} l'exemple important $n=2$ et $p=8$)
}
\end{itemize}

\textit{Application :} Soit $f: (x,y,z)\to f(x,y,z)$ une fonction de trois variables
et $g$ une fonction de $n$ variables. On suppose que les d\'{e}riv\'{e}es partielles commutent
c'est \`{a} dire que $\partial_i\partial_j\ h=\partial_j\partial_i\ h$
o\`{u} $h$ est soit $f$ soit $g$ soit une de leurs d\'{e}riv\'{e}es partielles.

\begin{itemize}
\item[1.d)]{%3 puis K_3^2 soit 6
Combien $f$ a-t-elle de d\'{e}riv\'{e}es partielles d'ordre 1 ? et d'ordre 2 ?
}
\item[1.e)]{%K_n^p
Exprimer en fonction de $K_n^p$ le nombre de
de d\'{e}riv\'{e}es partielles d'ordre $p$  de $g$.
}
\end{itemize}
%
\section{Probabilit\'{e}s pratiques}
%
$r$ personnes sont dans un ascenseur \`{a} $n$ \'{e}tages. On suppose que la probabilit\'{e}
qu'une personne s'arr\^{e}te \`{a} un \'{e}tage donn\'{e} est $1/n$ et que les d\'{e}cisions des
$r$ personnes sont ind\'{e}pendantes.
\begin{itemize}
\item[2.a)]{%A_n^r/n^r
Quelle est la probabilit\'{e} que les $r$ personnes s'arr\^{e}tent \`{a} des
\'{e}tages diff\'{e}rents ?
}
\item[2.b)]{%C_r^2A_n^{r-1}/n^r
Quelle est la probabilit\'{e} que deux personnes exactement s'arr\^{e}tent au m\^{e}me \'{e}tage et
que les $r-2$ autres personnes s'arr\^{e}tent chacune \`{a}
un \'{e}tage diff\'{e}rent (qu'on supposera diff\'{e}rent de l'\'{e}tage de
ces deux personnes) ?
}
\end{itemize}
%
\section{Etude d'une variable continue}
Soit $f:x\to ax^2+bx+c$ la densit\'{e} d'une variable al\'{e}atoire $X$
d\'{e}finie sur [1,3] telle $f(1)=f(3)=1/4$ comme le montre la figure
suivante.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%  # fichier prst9709.plt pour gnuplot
%    set terminal latex
%    set output   "prst9709.txp"
%  # set title "Repr\'{e}sentation de $G$"
%    set sample   1500
%    set size 1/2.,4/6.
%    set nokey
%    set xrange   [0:4]
%    set yrange   [0:0.85]
%    set xtics ("1" 1,"3" 3)
%    set ytics ("0" 0,"1/4" 0.25,"1/2" 0.5,"3/4" 0.75,"1" 1)
%    p(x) = (-3*x*x+12*x-7)/8
%    f(x) = (x<1 ? 0 : (x>3 ? 0 : p(x) ) )
%    g(x) = 0.25
%    plot f(x) , g(x) with lines 4
%    set terminal windows
%  # replot
%  # pause -1  "Hit return to continue"
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\input{prst9709.txp}
\end{center}
%
D\'{e}terminer $a$, $b$ et $c$ puis donner la moyenne
et l'\'{e}cart-type de $X$.
%
\section{Loi de Rayleigh}
%
On appelle loi de \textit{Rayleigh} la loi de la
variable al\'{e}atoire continue de densit\'{e} $f$
d\'{e}finie sur $\R^+$ par
$f(x)=xe^{-x^2/2}$.
Montrez que $f$ est bien une densit\'{e} puis donnez
la moyenne de la loi.
%
\newpage
\section{Fonctions caract\'{e}ristiques}
%
On rappelle que la fonction caract\'{e}ristique de la loi
$\gamma(x,y)$ est donn\'{e}e par la fonction $t\to \Phi(t)=(1-ity)^{-x}$.
Quelle est la loi de la somme $X_1+X_2$
si $X_1=\gamma(a,\alpha)$ et
$X_2=\gamma(b,\alpha)$ sont deux lois ind\'{e}pendantes ?
% gamma(a+b,\alpha)
Dans quel cas simple peut-on calculer la somme de $n$ lois
$X_i=\gamma(a_i,\alpha_i)$ ? Quelle est alors la loi de la somme ?
% les alpha_i sont \'{e}gaux \`{a} un m\^{e}me k ;
% somme = gamma(\sum a_i,\alpha) = gamma(nk,\alpha)
%
\section{Approximation d'effectifs}
%
Soit $x_i$ le nombre de fois o\`{u} on doit relire un document technique apr\`{e}s
l'avoir pass\'{e} au correcteur orthographique et grammatical
avant d'\^{e}tre (relativement) s\^{u}r de sa justesse.
Compte-tenu des progr\`{e}s de l'informatique linguistique et grammaticale
il est tr\`{e}s peu probable que ce nombre d\'{e}passe 5 fois
et on admettra donc que la valeur "5 fois"
repr\'{e}sente en fait l'\'{e}v\`{e}nement "5 fois ou plus".
On fournit dans le tableau suivant le nombre $n_i$ de documents
ayant \'{e}t\'{e} relus $x_i$ fois.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &   0 &  1 &   2 &  3 &  4 & 5  \\ \hline
$n_i$ &  130 & 60 &  20 & 20 &  8 & 70 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Donner le nombre total de fois, la moyenne et la variance
du nombre de relectures.
\item Effectuer une approximation des effectifs $n_i$ par la loi binomiale.
\item Effectuer une approximation des effectifs $n_i$ par la loi de Poisson.
\item Conclure en comparant ces approximations.
\end{itemize}

Vous n'oublierez pas de d\'{e}tailler les calculs, de justifier les effectifs
th\'{e}oriques r\'{e}els et arrondis, de fournir le $\chi^2$ utilis\'{e}, le nombre de
degr\'{e}s de libert\'{e} \textit{etc.}
%
\end{document}
