G. Hunault Angers, sept. 97

Licence Informatique

Examen de Probabilités et Statistiques

1. Combinaisons avec répétitions

On appelle combinaison avec répétition de p éléments parmi n toute suite non ordonnée de p éléments choisis dans l’ensemble des n éléments fournis. Par exemple pour n = 3 et p = 2, avec comme ensemble de base { a, b, c } on a K_{n}^{p} = 6 combinaisons avec répétitions, à savoir

< a, a >, < a, b >, < a, c >, < b, b >, < b, c >, < c, c >

1.a) Que vaut K_{n}^{1} ?

1.b) Démontrer que K_{n}^{p} s’écrit C_{q}^{p} pour q bien choisi.

1.c) Quelles données peut-on ainsi dénombrer en informatique ? (On pourra surtout penser à l’exemple important n = 2 et p = 8)

Application : Soit f : (x, y, z) → f(x, y, z) une fonction de trois variables et g une fonction de n variables. On suppose que les dérivées partielles commutent c’est à dire que ∂_{i}∂_{j} h = ∂_{j}∂_{i} h où h est soit f soit g soit une de leurs dérivées partielles.

1.d) Combien f a-t-elle de dérivées partielles d’ordre 1 ? et d’ordre 2 ?

1.e) Exprimer en fonction de K_{n}^{p} le nombre de de dérivées partielles d’ordre p de g.

2. Probabilités pratiques

r personnes sont dans un ascenseur à n étages. On suppose que la probabilité qu’une personne s’arrête à un étage donné est 1/n et que les décisions des r personnes sont indépendantes.

2.a) Quelle est la probabilité que les r personnes s’arrêtent à des étages différents ?

2.b) Quelle est la probabilité que deux personnes exactement s’arrêtent au même étage et que les r − 2 autres personnes s’arrêtent chacune à un étage différent (qu’on supposera différent de l’étage de ces deux personnes) ?

3. Etude d’une variable continue

Soit f : x → ax^{2} + bx + c la densité d’une variable aléatoire X définie sur [1,3] telle f(1) = f(3) = 1/4 comme le montre la figure suivante.

0 1/4 1/2 3/4  1  3

Déterminer a, b et c puis donner la moyenne et l’écart-type de X.

4. Loi de Rayleigh

On appelle loi de Rayleigh la loi de la variable aléatoire continue de densité f définie sur lR^{+} par f(x) = xe^{−x^{2}/2}. Montrez que f est bien une densité puis donnez la moyenne de la loi.

5. Fonctions caractéristiques

On rappelle que la fonction caractéristique de la loi γ(x, y) est donnée par la fonction t → Φ(t) = (1 − ity)^{−x}. Quelle est la loi de la somme X_{1} + X_{2} si X_{1} = γ(a, α) et X_{2} = γ(b, α) sont deux lois indépendantes ? Dans quel cas simple peut-on calculer la somme de n lois X_{i} = γ(a_{i}, α_{i}) ? Quelle est alors la loi de la somme ?

6. Approximation d’effectifs

Soit x_{i} le nombre de fois où on doit relire un document technique après l’avoir passé au correcteur orthographique et grammatical avant d’être (relativement) sûr de sa justesse. Compte-tenu des progrès de l’informatique linguistique et grammaticale il est très peu probable que ce nombre dépasse 5 fois et on admettra donc que la valeur ”5 fois” représente en fait l’évènement ”5 fois ou plus”. On fournit dans le tableau suivant le nombre n_{i} de documents ayant été relus x_{i} fois.

\begin{matrix}x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ n_{i} & 130 & 60 & 20 & 20 & 8 & 70 \end{matrix}

• Donner le nombre total de fois, la moyenne et la variance du nombre de relectures.

• Effectuer une approximation des effectifs n_{i} par la loi binomiale.

• Effectuer une approximation des effectifs n_{i} par la loi de Poisson.

• Conclure en comparant ces approximations.

Vous n’oublierez pas de détailler les calculs, de justifier les effectifs théoriques réels et arrondis, de fournir le χ^{2} utilisé, le nombre de degrés de liberté etc.