G. Hunault Angers, mai 97

Licence Informatique

Examen de Probabilités et Statistiques

1. Statistiques Descriptives

Il n’est pas très difficile de trouver dans la presse spécialisée des caractéristiques d’ordinateurs. Nous fournissons un exemple de telles données dans le document annexe. La colonne FRQ donne la fréquence du micro-processeur utilisé, la colonne DSQ donne le temps d’accès moyen du disque dur, TCP correspond au type de CPU (1 pour Intel, 2 pour Cyrix), CAH indique le type de cache utilisé (codes : 0=128K de cache, 1=256 K, 2= 512 K), CVI indique le type de carte vidéo (1=SVGA normale, 2= autre), GIG est la taille du disque dur (en Giga-Octets). Effectuer une analyse statistique générale des colonnes. Vous détaillerez le type des variables, vous soignerez l’affichage (dit ”intelligent”) des résultats. Pour les variables quantitatives, vous essaierez de détecter les liaisons linéaires que vous fournirez si ρ est supérieur à 0.8 seulement. Après ces calculs, vous essaierez de commenter les valeurs résumées obtenues.

2. Calcul algorithmique de la loi H(N, D, n)

Soit X la v.a. ”loi hypergéométrique” H(N, D, n) : X prend les valeurs entières k = a, a + 1, a + 2 ... b où a = max(0, D + n − N) et b = min(D, n). La valeur k a pour probabilité p_{k} = C_{D}^{k}.C_{N−D}^{n−k}/C_{N}^{n}.

• Expliciter les valeurs de k et p_{k} pour N = 6, D = 3 et n = 2.

• Donner, en respectant la syntaxe algorithmique du cours, un algorithme qui calcule la moyenne de X pour n, N et D donnés ; on supposera connue la fonction C(n, p) qui calcule C_{n}^{p}.

3. Loi Uniforme Discrète Généralisée

On appelle Loi Uniforme Discrète Généralisée sur [[ a, b ]] notée UDG(a, b) la loi constante qui prend toutes les valeurs entières entre a et b.

• Expliciter les valeurs de UDG(−3, 5), sa moyenne et son écart-type

• Fournir dans le cas général la moyenne et l’écart-type de UDG(a, b)

4. Approximation d’effectifs

Soit x_{i} le nombre de fois où on passe le brevet de pilotage ”Hélicoptère”. On fournit dans le tableau suivant le nombre n_{i} de personnes ayant obtenu ce brevet au bout de x_{i} fois exactement.

\begin{matrix}x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ n_{i} & 15 & 35 & 34 & 13 & 2 & 1 \end{matrix}

• Donner le nombre total de personnes, la moyenne et la variance du nombre de fois.

• Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi binomiale.

• Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi de Poisson.

• Conclure en comparant ces approximations.

On n’oubliera pas de détailler les calculs, de justifier les effectifs théoriques réels et arrondis, de fournir le χ^{2} utilisé, le nombre de degrés de liberté etc.

5. Application de la convergence en loi

On met 300 jetons de couleurs dans un sac : 3 sont bleus et les autres sont rouges. On veut tirer avec remise j jetons. A partir de quelle valeur de j aura-t-on une probabilité supérieure à 95 % : de tirer au moins une fois un jeton bleu

• par un calcul direct basé sur la loi binomiale ?

• par un calcul approché basé sur la loi de Poisson équivalente ?

Conclure en comparant les valeurs de j obtenues.

6. Convergence

Soient X_{i} des variables aléatoires indépendantes toutes de même loi de Pois-

son P(1) et soit S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i}. Trouver la loi de S_{n} et calculer la limite de la

suite (T_{n})_{n∈IN^{∗}} si T_{n} = e^{−n} ∑_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} .

Indication : on pourra considérer les événènements \{ \frac{S_{n} − n}{\sqrt{n}} ≤ 0 \}.

DOCUMENT ANNEXE

MARQUE      FRQ   DSQ   TCP   CAH   CVI      GIG
Compaq 1    166    15     1     0     1     2.00
Compaq 2    150    20     1     0     2     1.70
Compaq 3    166    20     1     1     2     4.20
Ibm 1       120    18     2     0     1     1.40
Ibm 2       155    18     2     1     1     1.70
Ibm 3       180    14     2     1     2     2.80
Ibm 4       180    14     2     1     2     4.50
Ibm 5       200    11     2     2     2     6.50
Hp 1        133    14     1     0     1     1.20
Hp 2        170    12     1     2     2     3.60

On fournit de plus les sommes élémentaires suivantes :

FRQ    DSQ    TCP    CAH    CVI       GIG
1620    156     15      8     16     29.60

ainsi que les sommes de produits

FRQ*DSQ        FRQ*GIG       DSQ*GIG
24902        5101.30        437.50
FRQ*FRQ    DSQ*DSQ         GIG*GIG
267426       2526        114.1200