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% xmps9703.tex
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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\parindent      0.0cm
\parskip        0.1cm
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\begin{document}
{\Large \textbf{G. Hunault} \hspace{6cm}}
\textit{Angers, mars 97}

{\Large Licence Informatique}\\[1.2cm]

\begin{center}
{\LARGE Examen de Probabilit\'{e}s et Statistiques }

\end{center}
\vskip 2.3cm
%
\section{Statistiques Descriptives}
%
Une enqu\^{e}te r\'{e}cente sur les licences d'informatique en France a permis de
comptabiliser les donn\'{e}es fournies sur le document annexe. La colonne
\textsf{AGE} donne l'age d'entr\'{e}e en licence,
la colonne \textsf{INS} donne le montant des droits d'inscription,
\textsf{EXD} correspond \`{a} une provenance "DEUG" (valeur 1),
\textsf{CFU} indique si des personnes de la famille ont fait des \'{e}tudes
sup\'{e}rieures (codes :  0=aucune personne, 1=famille directe, 2= famille indirecte),
\textsf{BAC} indique le type de baccalaur\'{e}at (1=bac "C" ou "E", 2= autre),
\textsf{NFS} est le nombre de fr\`{e}res et soeurs.

Effectuer une analyse statistique g\'{e}n\'{e}rale des colonnes. Vous d\'{e}taillerez le type
des variables, vous soignerez l'affichage (dit "intelligent") des r\'{e}sultats. Pour les
variables quantitatives, vous essaierez de d\'{e}tecter les liaisons lin\'{e}aires que vous
fournirez si $\rho$ est sup\'{e}rieur \`{a} 0.9 seulement.

Apr\`{e}s ces calculs, vous essaierez de commenter les valeurs r\'{e}sum\'{e}es obtenues.
%
\section{Calcul algorithmique de la loi du $\chi^2$}
%
Soit $X$ la \textit{v.a.} "loi du $\chi^2$ \`{a} $n$ degr\'{e}s de libert\'{e}. On
admettra (sans d\'{e}monstration) que si $n$ est pair, alors $p("X>x")$ se calcule
par $\displaystyle \sum_{k=0}^{-1+n/2}\ e^{-x/2}.(x/2)^k.k!$.
\begin{itemize}
\item Expliciter \`{a} la main ce calcul pour $x$=4 et $n$=6.
\item Donner, en respectant
la syntaxe algorithmique du cours, un algorihtme \textbf{optimis\'{e}} qui calcule
cette probabilit\'{e} pour $x$ et $n$ donn\'{e}s.
\end{itemize}
%
\section{Comparaison de rangs}
%
Dans un couple moderne, l'homme et la femme ne sont pas \'{e}gaux devant la loi.
A 8 questions proposant des droits et des devoirs aux hommes et aux hommes, on
obtient en moyenne les rangs suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
num\'{e}ro de l'$item$          & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
rang $(homme)$  & 1 & 8 & 3 & 6 & 5 & 4 & 7 & 2 \\ \hline
rang $(femme)$  & 2 & 4 & 6 & 8 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Justifier le fait que les rangs homme et femme ont la m\^{e}me moyenne $m$
et la m\^{e}me variance $V$~;~ vous fournirez au passage les valeurs de $m$ et $V$
en indiquant comment elles se calculent th\'{e}oriquement.
\item Donner les coefficients de rangs de $Spearman$ et $Kendall$ correspondants.
\item Conclure apr\`{e}s avoir lu soigneusement les rangs homme et femme.
\end{itemize}

%
\section{Approximation d'effectifs}
%
Soit $x_i$ le nombre de minutes pass\'{e}es \`{a} attendre devant un guichet de banque
avant d'\^{e}tre servi(e). Selon l'O.N.B. (Office National des Banques),
il est tr\`{e}s peu probable que ce temps d\'{e}passe 4 minutes (!)
et on assimile donc la valeur "4 minutes" \`{a} l'\'{e}v\`{e}nement "4 minutes ou plus".
On fournit dans le tableau suivant le nombre $n_i$ de personnes ayant attendu
$x_i$ minutes.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &   0 &  1 &   2 &  3 &  4 \\ \hline
$n_i$ &  15 & 50 &  35 & 20 &  8 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Donner le nombre total de personnes et la moyenne et la varaince
du temps d'attente en minutes et secondes.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi binomiale.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi de Poisson.
\item Conclure en comparant ces approximations.
\end{itemize}

On n'oubliera pas de d\'{e}tailler les calculs, de justifier les effectifs
th\'{e}oriques r\'{e}els et arrondis, de fournir le $\chi^2$ utilis\'{e}, le nombre de
degr\'{e}s de libert\'{e} \textit{etc.}
%
\newpage
\section{Somme de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes}
%
Montrer que $C_{2n}^n=\displaystyle \sum_{k=0}^n\ (C_x^k)^2$ pour $x$ bien
choisi d\'{e}pendant de $n$.

On pourra utiliser la somme de deux lois binomiales
ind\'{e}pendantes ${\mathcal{B}}(n_1,p)$ et ${\mathcal{B}}(n_2,p)$
avec la m\^{e}me probabilit\'{e} de succ\'{e}s $p$ et commencer par montrer
que $C_{n_1+n_2}^k=\displaystyle \sum_{k_1+k_2=k} \ C_{n_1}^{k_1}C_{n_2}^{k_2}$.
On se rappelera que $C_n^k=C_n^{n-k}$.
%
\section{Convergence}
%
Soient $X_i$ des variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes toutes de m\^{e}me loi.

On pose
$S_n=\displaystyle \sum_{i=1}^n\ X_i$,
$M_n=\displaystyle \frac{S_n}{n}$ et
$U_n=\displaystyle \frac{S_n-n.m}{\sigma.\sqrt{n}}$.

Soient $Y_j$ d'autres variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes toutes de m\^{e}me loi.
On pose $Z_j=X_j$ si $j$ est pair, $Z_j=Y_j$ si $j$ est impair.
On admettra que les variables $Z_i$ sont ind\'{e}pendantes.
On d\'{e}finit enfin
$V_n$ par $$V_n=\displaystyle \sum_{i=1}^{2n} \frac{Z_n}{2n}$$

\begin{itemize}
\item[6.1)] Vers quoi tend en loi la suite des $S_n$ ?
\item[6.2)] Vers quoi tend en loi la suite des $M_n$ ?
\item[6.3)] Vers quoi tend en loi la suite des $U_n$ ?
\item[6.4)] Vers quoi tend en loi la suite des $V_n$ ?
\end{itemize}
%
\newpage
\begin{center}
{\Large ANNEXE : donn\'{e}es de l'enqu\^{e}te "LICINFO"}
\end{center}

\begin{verbatim}


    ID        AGE      INS      EXD    CFU    BAC    NFS
    PdL1       19     455.10      1      0      1      2
    PdL2       21     496.10      1      0      1      0
    RP_1       22     515.10      0      1      1      1
    Rp_2       19     455.81      1      1      2      0
    RP_2       19     465.51      1      2      2      1
    Rp_4       20     475.10      0      1      1      0
    Rp_5       20     487.10      1      1      1      2


\end{verbatim}

On fournit de plus les sommes \'{e}l\'{e}mentaires suivantes :

\begin{verbatim}

    AGE        INS    EXD    CFU    BAC    NFS
    140    3349.82      5      6      9      6

\end{verbatim}

ainsi que les sommes de produits

\begin{verbatim}

 AGE*INS   AGE*NFS   INS*NFS   AGE*AGE   INS*INS
 67146.28   119       2865.01    2808     1606007.9662

\end{verbatim}

\end{document}
