G. Hunault Angers, mars 97

Licence Informatique

Examen de Probabilités et Statistiques

1. Statistiques Descriptives

Une enquête récente sur les licences d’informatique en France a permis de comptabiliser les données fournies sur le document annexe. La colonne AGE donne l’age d’entrée en licence, la colonne INS donne le montant des droits d’inscription, EXD correspond à une provenance ”DEUG” (valeur 1), CFU indique si des personnes de la famille ont fait des études supérieures (codes : 0=aucune personne, 1=famille directe, 2= famille indirecte), BAC indique le type de baccalauréat (1=bac ”C” ou ”E”, 2= autre), NFS est le nombre de frères et soeurs. Effectuer une analyse statistique générale des colonnes. Vous détaillerez le type des variables, vous soignerez l’affichage (dit ”intelligent”) des résultats. Pour les variables quantitatives, vous essaierez de détecter les liaisons linéaires que vous fournirez si ρ est supérieur à 0.9 seulement. Après ces calculs, vous essaierez de commenter les valeurs résumées obtenues.

2. Calcul algorithmique de la loi du χ^{2}

Soit X la v.a. ”loi du χ^{2} à n degrés de liberté. On admettra (sans démonstration)

que si n est pair, alors p(”X > x”) se calcule par ∑_{k=0}^{−1+n/2} e^{−x/2}.(x/2)^{k}.k!.

• Expliciter à la main ce calcul pour x=4 et n=6.

• Donner, en respectant la syntaxe algorithmique du cours, un algorihtme optimisé qui calcule cette probabilité pour x et n donnés.

3. Comparaison de rangs

Dans un couple moderne, l’homme et la femme ne sont pas égaux devant la loi. A 8 questions proposant des droits et des devoirs aux hommes et aux hommes, on obtient en moyenne les rangs suivants :

numéro de l’item 1 2 3 4 5 6 7 8
rang (homme)  1 8 3 6 5 4 7 2
rang (femme)  2 4 6 8 1 3 5 7

• Justifier le fait que les rangs homme et femme ont la même moyenne m et la même variance V ; vous fournirez au passage les valeurs de m et V en indiquant comment elles se calculent théoriquement.

• Donner les coefficients de rangs de Spearman et Kendall correspondants.

• Conclure après avoir lu soigneusement les rangs homme et femme.

4. Approximation d’effectifs

Soit x_{i} le nombre de minutes passées à attendre devant un guichet de banque avant d’être servi(e). Selon l’O.N.B. (Office National des Banques), il est très peu probable que ce temps dépasse 4 minutes (!) et on assimile donc la valeur ”4 minutes” à l’évènement ”4 minutes ou plus”. On fournit dans le tableau suivant le nombre n_{i} de personnes ayant attendu x_{i} minutes.

\begin{matrix}x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ n_{i} & 15 & 50 & 35 & 20 & 8 \end{matrix}

• Donner le nombre total de personnes et la moyenne et la varaince du temps d’attente en minutes et secondes.

• Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi binomiale.

• Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi de Poisson.

• Conclure en comparant ces approximations.

On n’oubliera pas de détailler les calculs, de justifier les effectifs théoriques réels et arrondis, de fournir le χ^{2} utilisé, le nombre de degrés de liberté etc.

5. Somme de variables aléatoires indépendantes

Montrer que C_{2n}^{n} = ∑_{k=0}^{n} (C_{x}^{k})^{2} pour x bien choisi dépendant de n.

On pourra utiliser la somme de deux lois binomiales indépendantes B(n_{1}, p) et B(n_{2}, p) avec la même probabilité de succés p et commencer par montrer

que C_{n_{1}+n_{2}}^{k} = ∑_{k_{1}+k_{2}=k} C_{n_{1}}^{k_{1}}C_{n_{2}}^{k_{2}}. On se rappelera que C_{n}^{k} = C_{n}^{n−k}.

6. Convergence

Soient X_{i} des variables aléatoires indépendantes toutes de même loi.

On pose S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i}, M_{n} = \frac{S_{n}}{n} et U_{n} = \frac{S_{n} − n.m}{σ.\sqrt{n}}.

Soient Y_{j} d’autres variables aléatoires indépendantes toutes de même loi. On pose Z_{j} = X_{j} si j est pair, Z_{j} = Y_{j} si j est impair. On admettra que les variables Z_{i} sont indépendantes. On définit enfin V_{n} par

V_{n} = ∑_{i=1}^{2n} \frac{Z_{n}}{2n}

6.1) Vers quoi tend en loi la suite des S_{n} ?

6.2) Vers quoi tend en loi la suite des M_{n} ?

6.3) Vers quoi tend en loi la suite des U_{n} ?

6.4) Vers quoi tend en loi la suite des V_{n} ?

ANNEXE : données de l’enquête ”LICINFO”

ID        AGE      INS      EXD    CFU    BAC    NFS
PdL1       19     455.10      1      0      1      2
PdL2       21     496.10      1      0      1      0
RP_1       22     515.10      0      1      1      1
Rp_2       19     455.81      1      1      2      0
RP_2       19     465.51      1      2      2      1
Rp_4       20     475.10      0      1      1      0
Rp_5       20     487.10      1      1      1      2

On fournit de plus les sommes élémentaires suivantes :

AGE        INS    EXD    CFU    BAC    NFS
140    3349.82      5      6      9      6

ainsi que les sommes de produits

AGE*INS   AGE*NFS   INS*NFS   AGE*AGE   INS*INS
67146.28   119       2865.01    2808     1606007.9662