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% menv0397.tex
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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\parindent      0.0cm
\parskip        0.1cm
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\begin{document}
{\Large \textbf{G. Hunault} \hspace{6cm}}
\textit{Angers, mars 97}

{\Large Maitrise Environnement}\\[1.2cm]

\begin{center}
{\LARGE Examen de Probabilit\'{e}s et Statistiques }

\end{center}
\vskip 2.3cm
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\section{Intervalles statistiques}
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Une variable al\'{e}atoire $X$ repr\'{e}sentant un nombre de personnes
immunod\'{e}ficientes a pour valeurs $15,20,20,15,30$.
\begin{itemize}
\item[a)] Donner la moyenne $m$, la variance $V$, l'\'{e}cart-type $\sigma$ et le coefficient
de variation $\sigma/m$.
\item[b)] Donner \'{e}galement l'intervalle de confiance $[m-\sigma,m+\sigma]$ et
l'intervalle de variabilit\'{e} $[m-V,m+V]$.
\end{itemize}
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\section{Approximation d'effectifs}
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On estime que la p\'{e}riode d'incubation d'un $mytochodas$ $aperpolis$ varie de
0 \`{a} 4 jours. On a consign\'{e} dans le tableau suivant les p\'{e}riodes d'incubation
($x_i$) et le nombre de larves correspondant ($n_i$) :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &   0 &  1 &   2 &  3 &  4 \\ \hline
$n_i$ &  15 & 50 &  35 & 20 &  8 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Donner le nombre total de larves, la moyenne et la variance
du temps d'incubation en jours, heures et minutes.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi binomiale.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi de Poisson.
\item Conclure en comparant ces approximations.
\end{itemize}

On n'oubliera pas de d\'{e}tailler les calculs, de justifier les effectifs
th\'{e}oriques r\'{e}els et arrondis, de fournir le $\chi^2$ utilis\'{e}, le nombre de
degr\'{e}s de libert\'{e} \textit{etc.}
%
\section{Manipulations informatiques}
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Apr\`{e}s avoir lu l'aide du logiciel "Le Probabiliste" sur la loi
du $\chi^2$, donner la date de naissance de $Pearson$.
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\section{Analyses statistiques g\'{e}n\'{e}rales}
%
Le Minist\`{e}re de l'Education nationale a publi\'{e} et a fait
diffuser en f\'{e}vrier 95 une note d'information relative
aux personnels de l'enseignement sup\'{e}rieur. Les donn\'{e}es
associ\'{e}es sont dans la base de donn\'{e}es MEN. On y trouve
en ligne les disciplines et fonctions des enseignants et
en colonne le type d'\'{e}tablissement. A l'intersection d'une
ligne et d'une colonne on trouve donc un nombre de
personne correspondant \`{a} la cat\'{e}gorie et \`{a} l'\'{e}tablissement.

La colonne DISCIPLINE ne contient qu'un seul chiffre :
1 pour Droit, 2 pour Lettres, 3 pour
Sciences, 4 pour Sant\'{e}. La colonne FONCTION contient un
code num\'{e}rique de fonction \`{a} savoir 1
pour Professeur, 2 pour Maitre de Conf\'{e}rences, 3 pour
Assistant, 4 pour Attach\'{e} ou Moniteur, 0
pour Autre. Ainsi les enseignants rep\'{e}r\'{e}s par 1 2 sont
des Maitres de conf\'{e}rences en Droit.

Vous commencerez par  effectuer une analyse statistique g\'{e}n\'{e}rale du fichier de donn\'{e}es. Ce qui
inclut le calculs des  moyenne, variance, \'{e}cart-type pour chaque colonne, la matrice des
corr\'{e}lations lin\'{e}aires, la listes des meilleures corr\'{e}lations avec les formules lin\'{e}aires pour
$\rho$ $>$ 0.9.

Vous viendrez ensuite r\'{e}pondre aux questions suivantes.
On rappelle que les calculs sont une chose, mais que les
interpr\'{e}tations en sont une autre. On ne d\'{e}taillera donc
pas \`{a} outrance les manipulations ; au
contraire, il est conseill\'{e} d'insister sur les conclusions
possibles en faisant un effort de r\'{e}daction.

\begin{enumerate}
\item Donner la ligne des totaux en colonnes et la colonne
   des totaux en lignes (on ne demande pas de les
   rajouter \`{a} la base de donn\'{e}es).
\item Combien de Professeurs (toutes disciplines confondues) sont
   \`{a} l'universit\'{e}~?
\item Quelle est la moyenne du nombre de personnes en IUT de
   Sciences ?
\item Combien de lignes ont un champ UNIV sup\'{e}rieur \`{a} la moyenne
   du champ UNIV toutes lignes confondues ?
\item Donner la moyenne et l'\'{e}cart-type du champ IUT pour Droit
   et Lettres confondus.
\end{enumerate}
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\section{Addition de deux lois discr\`{e}tes}
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Soit $A$ une loi binomiale ${\mathcal{B}}(10;0,2)$ et $B$ une loi de $Poisson$
${\mathcal{P}}(2,35)$. Calculer la moyenne et la variance de la loi $C$
d\'{e}finie par $C$ = $A$ + $B$.
%
\section{Etude du moment d'ordre 3}
On appelle moment d'ordre 3 de la variable $X$ la quantit\'{e}
$\displaystyle \sum_{i=1}^n\ (1/n)*(x_i)^3.pi$ not\'{e}e $m_3(X)$
o\`{u} $n$ d\'{e}signe le nombre de valeurs, $x_i$ correspond
\`{a} la valeur num\'{e}ro $i$ et $p_i$ est la probabilit\'{e}
associ\'{e}e \`{a} xi. Ainsi pour la loi de Bernoulli $X=b(p)$,  $m_3(X)$ vaut $p/2$.
\begin{itemize}
\item[a)] calculer $m_3(X)$ si on a $n$ = 4 valeurs avec les probabilit\'{e}s $p_1$ = 0.1, $p_2$ = 0.3,
$p_3$ = 0.2, $p_4$ = 0.4 et $x_i$ = $i$.
\item[b)] a-t-on $m_3(X+Y) = m_3(X) + m_3(Y) ?$ (d\'{e}monstration ou contre-exemple).
\item[c)] si les $x_i$ sont dans le champ \textsf{VAL} d'une base de donn\'{e}es et
les $p_i$ dans le champ \textsf{PROB} de la m\^{e}me base, donner les instructions
$Dbase$ qui, une fois la base ouverte, permettent de calculer $m_3(X)$
et de mettre sa valeur dans la variable \textsf{MTROIS}.
\end{itemize}
%
\end{document}
