% xm2euris.tex (gH) :
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\parindent 0cm
\parskip   0.2cm
%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
%
{\Large \begin{center}\textsc{Partie Informatique}\end{center}}

 \vspace{0.5cm}

Soient $u$, $v$, $w$, $t$, $a$, $b$ et $h$ des r\'{e}els tels que $h\neq 0$,
$u\neq v$, $u\neq w$, $v\neq w$.
On pose $P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2$. On se donne
une fonction $f$ int\'{e}grable sur $[a,b]$.
\begin{enumerate}
\item
D\'{e}terminer $c_0$, $c_1$ et $c_2$ pour que
$P(t)=u$, $P(t+h)=v$ et $P(t+2h)=w$ si $t=h=1$,
$u=6$, $v=15$ et $w=28$.
\item
D\'{e}terminer $c_0$, $c_1$ et $c_2$ pour que
$P(t)=u$, $P(t+h)=v$ et $P(t+2h)=w$ dans le cas
g\'{e}n\'{e}ral. On exprimera $c_2$ en fonction
de $u$, $v$, $w$ et $h$~; on pourra se
contenter de donner $c_1$ en fonction de
de $u$, $v$, $t$, $h$, $c_2$ et $c_0$
en fonction de de $u$, $t$, $c_2$ et $c_1$.
\item
Donner un algorithme optimis\'{e} qui calcule, pour
$t$, $h$, $c_0$, $c_1$ et $c_2$ fix\'{e}s,
l'int\'{e}grale $\displaystyle \int_{t}^{t+h}\ P$. %(c_0+c_1x+c_2x^2).dx$
\item
On propose la m\'{e}thode d'int\'{e}gration suivante de %'une fonction
$f$ sur $[a,b]$.

On d\'{e}coupe $[a,b]$ en $(n+1)$ points \'{e}quidistants $x_1=a,x_2...x_{n+1}=b$.
Sur chaque intervalle $[x_i,x_{i+2}]$ on calcule
les coefficients $c_0,c_1$ et $c_2$ pour que
$P(x_i)=u=f(x_i)$, $P(x_{i+1})=v=f(x_{i+1})$,
$P(x_{i+2})=w=f(x_{i+2})$.
On remplace alors  $\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+2}} f$
par  $\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+2}} P$.

Donner l'algorithme du calcul de $\displaystyle \int_{a}^{b} f$
avec cette m\'{e}thode. On notera
\textsf{det2d}$(u,v,w,c_0,c_1,c_2)$ le sous-programme qui calcule
$c_0$, $c_1$ et $c_2$ \`{a} partir de $u$, $v$ et $w$ et
\textsf{intpar}$(c_0,c_1,c_2,t_1,t_2)$ le sous-programme qui calcule
l'int\'{e}grale de  $P$ sur $[t_1,t_2]$.

\item
On veut maintenant g\'{e}n\'{e}raliser la m\'{e}thode de la question $4.$
\`{a} un polynome $P(x)=\displaystyle \sum\ c_ix^i$ de degr\'{e} $d$.
Pour cela, on d\'{e}coupe $[a,b]$ en $(n+1)$ points
\'{e}quidistants $x_1=a,x_2...x_{n+1}=b$.
Sur chaque intervalle $[x_i,x_{i+d}]$ on calcule les $c_i$
pour que $P(x_{i+k})=f(x_{i+k})$ o\`{u} $k$ varie de $0$ \`{a} $d$
et on remplace alors  $\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+d}} f$
par  $\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+d}} P$.

Donner l'algorithme du calcul de $\displaystyle \int_{a}^{b} f$
avec cette m\'{e}thode.
On utilisera un tableau $tdp$ des points $x_i$,
un tableau $tdv$ des valeurs de $f$ en $x_i$,
un tableau $tdc$ des coefficients $c_i$
et on notera
\textsf{calcval}$(tdp,tdv)$ le sous-programme qui calcule
les valeurs $tdv[x_i]=f(x_i)$,
\textsf{detcoef}$(tdv,tdc)$ le sous-programme qui calcule
les coefficients $tdc[i]=c_i$,
\textsf{vintpol}$(tdc,t_1,t_2)$ le sous-programme qui calcule
l'int\'{e}grale de  $P$ sur $[t_1,t_2]$.
\end{enumerate}


\end{document}
