%
% asep9709.tex
%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\parindent      0.0cm
\parskip        0.1cm
%
\begin{document}
{\Large \textbf{G. Hunault} \hspace{6cm}}
\textit{Angers, sept. 97}

{\Large DEUST Asepsie}\\[1.2cm]

\begin{center}
{\LARGE Examen de Probabilit\'{e}s et Statistiques }

\end{center}
\vskip 2.0cm
%
\section{Valeurs d'une loi}
%
Soit $X$ la loi $0.3+2{\mathcal{B}(10,0.23456)}$.
Donner les 5 premi\`{e}res valeurs de $X$ et la probabilit\'{e} de la
8-\`{e}me valeur \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. On pourra
utiliser $Excel$.
%
\section{Approximation d'effectifs}
%
Soit $x_i$ le nombre de fois o\`{u} on doit filtrer un substrat organique
avant d'\^{e}tre sur de sa puret\'{e}. Compte-tenu des techniques modernes
de filtration,
il est tr\`{e}s peu probable que ce nombre d\'{e}passe 5 fois
et on admettra donc que la valeur "5 fois"
repr\'{e}sente en fait l'\'{e}v\`{e}nement "5 fois ou plus".
On fournit dans le tableau suivant le nombre $n_i$ de substrats
ayant \'{e}t\'{e} filtr\'{e} $x_i$ fois.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &   0 &  1 &   2 &  3 &  4 & 5  \\ \hline
$n_i$ &  70 & 60 &  20 & 20 &  8 & 70 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Donner le nombre total de fois, la moyenne et la variance
du nombre de filtrations.
\item Effectuer une approximation des effectifs $n_i$ par la loi binomiale.
\item Effectuer une approximation des effectifs $n_i$ par la loi de Poisson.
\item Conclure en comparant ces approximations.
\end{itemize}

Vous n'oublierez pas de d\'{e}tailler les calculs, de justifier les effectifs
th\'{e}oriques r\'{e}els et arrondis, de fournir le $\chi^2$ utilis\'{e}, le nombre de
degr\'{e}s de libert\'{e} \textit{etc.}
%
\section{Etude d'une base de donn\'{e}es}
%

Le dossier \textsf{Fumerol} contient des donn\'{e}es issues d'une analyse g\'{e}ologique.
Les fumerolles consid\'{e}r\'{e}es ici sont des fractions gazeuses s\'{e}par\'{e}es apr\`{e}s
condensation de
masses de vapeur d'eau qui s'\'{e}chappent du sol. Les donn\'{e}es proviennent
de la r\'{e}gion sud ouest
de l'Islande (sud du lac Thingvellir).
Il y a 18 \'{e}chantillons. Les chiffres indiqu\'{e}s correspondent aux
compositions en $CO_2$, $H_2S$,
$H_2$, $N_2$, $CH_4$, $Ar$, $He$ \`{a} un facteur d'\'{e}chelle pr\`{e}s. Les colonnes du tableau
seront donc
consid\'{e}r\'{e}es comme des variables quantitatives.

Les donn\'{e}es relatives \`{a} ce dossier sont dans le fichier \textit{Fumerol.Dbf}.
Vous trouverez une sortie imprim\'{e}e de ces donn\'{e}es en annexe.

Effectuer une analyse statistique g\'{e}n\'{e}rale des colonnes.
Vous d\'{e}taillerez le type des variables, vous soignerez l'affichage
(dit "intelligent") des r\'{e}sultats. Pour les
variables quantitatives, vous essaierez de d\'{e}tecter les
liaisons lin\'{e}aires que vous
fournirez si $\rho$ est sup\'{e}rieur \`{a} 0.9 seulement.

Apr\`{e}s ces calculs, vous essaierez de commenter les valeurs
r\'{e}sum\'{e}es obtenues.
%
\section{Manipulations informatiques}
% dur\'{e}e de vie : ampoule, transistor de microprocesseur
%
D'apr\`{e}s le logiciel "\textit{Le Probabiliste}",
quel ph\'{e}nom\`{e}ne classique est mod\'{e}lis\'{e} par
la loi exponentielle ?
%
\section{Etude d'une variable continue}
%
\begin{itemize}
\item[a)]{
Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $[0,3\pi]$ par $f(x)=k.sin(x)$.
D\'{e}terminer $k$ pour que $f$ soit la densit\'{e} d'une variable al\'{e}atoire continue
$X$. Etudiez alors X.
}
\item[b)]{
M\^{e}me question pour $f$ telle que $f(x)=k.x.e^{-k.x}$ sur $[0,+\infty]$.
}
\item[c)]{
A quoi correspondent ces deux lois ? Mod\'{e}lisent-elles des ph\'{e}nom\`{e}nes
classiques ?
}
\end{itemize}
%
\newpage
\section{Calculs statistiques}
%
Pour la base de donn\'{e}es "Fumerol"~:

\begin{itemize}
\item[a)]{
Quelle est la moyenne du champ $Ar$
pour les lignes telles que

$CO_2 > 1000$ ?
}
\item[b)]{
Pour quelle(s) ligne(s) a t-on $H_2S+H_2+N_2 < 600$ ?
}
\item[c)]{
Le graphique de type barre des variables
$nc=(CO_2+H_2)/10$ et $nh=He/5$ appliqu\'{e} aux lignes qui
commencent par "N" montre une "inversion" de hauteur.
De quoi  s'agit-il ?
}
\item[d)]{
Quel est l'\'{e}cart-type de $Ar$ pour les lignes dont le nom finit par "1" ?
}
\end{itemize}

\begin{verbatim}

\end{verbatim}

%\newpage
\begin{center}
{\Large ------ ANNEXE : donn\'{e}es de la base "FUMEROL" ------ }
\end{center}

\begin{verbatim}


          IDEN    CO2    H2S    H2     N2    CH4     Ar     He

          hvg1   1010    660    67    399     60    910     68
          hvg2    270    150     5    699     84   1090     68
          ng09    590   1060   454    710    189    750    462
          nj11    167    710   204    122     32    140     79
          nj13    213    630   327    422     73    600    159
          nes1   1860   1520  1142    315    181    730    305
          nes2   1340   1010   934   3132    607   3510   1462
          nes3   2060    700   488    177    183    320    339
          nes4   1040    710   446   1439    605   2820    390
          nes5   2530   1770   601    530    256    960    171
          nes6   2210   1760   593    602    219    920    200
          hel1   7230   1440   659    916   1637   1300    465
          hel4   2240    290   316    496    790    620    121
          hel7   1080    170   160    650    530   1300    255
          hel2   1190    290    36    315    164    800    125
          hel3    500    270     1     78     34     90     35
          hel5   2780    750     7    468     22    660     39
          hel6   3040    570    37    160     41    290    126
\end{verbatim}
\end{document}
