G. Hunault Angers, sept. 97

DEUST Asepsie

Examen de Probabilités et Statistiques

1. Valeurs d’une loi

Soit X la loi 0.3 + 2B(10, 0.23456). Donner les 5 premières valeurs de X et la probabilité de la 8-ème valeur à 10^{−6} près. On pourra utiliser Excel.

2. Approximation d’effectifs

Soit x_{i} le nombre de fois où on doit filtrer un substrat organique avant d’être sur de sa pureté. Compte-tenu des techniques modernes de filtration, il est très peu probable que ce nombre dépasse 5 fois et on admettra donc que la valeur ”5 fois” représente en fait l’évènement ”5 fois ou plus”. On fournit dans le tableau suivant le nombre n_{i} de substrats ayant été filtré x_{i} fois.

\begin{matrix}x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ n_{i} & 70 & 60 & 20 & 20 & 8 & 70 \end{matrix}

• Donner le nombre total de fois, la moyenne et la variance du nombre de filtrations.

• Effectuer une approximation des effectifs n_{i} par la loi binomiale.

• Effectuer une approximation des effectifs n_{i} par la loi de Poisson.

• Conclure en comparant ces approximations.

Vous n’oublierez pas de détailler les calculs, de justifier les effectifs théoriques réels et arrondis, de fournir le χ^{2} utilisé, le nombre de degrés de liberté etc.

3. Etude d’une base de données

Le dossier Fumerol contient des données issues d’une analyse géologique. Les fumerolles considérées ici sont des fractions gazeuses séparées après condensation de masses de vapeur d’eau qui s’échappent du sol. Les données proviennent de la région sud ouest de l’Islande (sud du lac Thingvellir). Il y a 18 échantillons. Les chiffres indiqués correspondent aux compositions en CO_{2}, H_{2}S, H_{2}, N_{2}, CH_{4}, Ar, He à un facteur d’échelle près. Les colonnes du tableau seront donc considérées comme des variables quantitatives. Les données relatives à ce dossier sont dans le fichier Fumerol.Dbf. Vous trouverez une sortie imprimée de ces données en annexe. Effectuer une analyse statistique générale des colonnes. Vous détaillerez le type des variables, vous soignerez l’affichage (dit ”intelligent”) des résultats. Pour les variables quantitatives, vous essaierez de détecter les liaisons linéaires que vous fournirez si ρ est supérieur à 0.9 seulement. Après ces calculs, vous essaierez de commenter les valeurs résumées obtenues.

4. Manipulations informatiques

D’après le logiciel ”Le Probabiliste”, quel phénomène classique est modélisé par la loi exponentielle ?

5. Etude d’une variable continue

a) Soit f la fonction définie sur [0, 3π] par f(x) = k.sin(x). Déterminer k pour que f soit la densité d’une variable aléatoire continue X. Etudiez alors X.

b) Même question pour f telle que f(x) = k.x.e^{−k.x} sur [0, +∞].

c) A quoi correspondent ces deux lois ? Modélisent-elles des phénomènes classiques ?

6. Calculs statistiques

Pour la base de données ”Fumerol” :

a) Quelle est la moyenne du champ Ar pour les lignes telles que

CO_{2} > 1000 ?

b) Pour quelle(s) ligne(s) a t-on H_{2}S + H_{2} + N_{2} < 600 ?

c) Le graphique de type barre des variables nc = (CO_{2} + H_{2})/10 et nh = He/5 appliqué aux lignes qui commencent par ”N” montre une ”inversion” de hauteur. De quoi s’agit-il ?

d) Quel est l’écart-type de Ar pour les lignes dont le nom finit par ”1” ?

—— ANNEXE : données de la base ”FUMEROL” ——

IDEN    CO2    H2S    H2     N2    CH4     Ar     He
hvg1   1010    660    67    399     60    910     68
hvg2    270    150     5    699     84   1090     68
ng09    590   1060   454    710    189    750    462
nj11    167    710   204    122     32    140     79
nj13    213    630   327    422     73    600    159
nes1   1860   1520  1142    315    181    730    305
nes2   1340   1010   934   3132    607   3510   1462
nes3   2060    700   488    177    183    320    339
nes4   1040    710   446   1439    605   2820    390
nes5   2530   1770   601    530    256    960    171
nes6   2210   1760   593    602    219    920    200
hel1   7230   1440   659    916   1637   1300    465
hel4   2240    290   316    496    790    620    121
hel7   1080    170   160    650    530   1300    255
hel2   1190    290    36    315    164    800    125
hel3    500    270     1     78     34     90     35
hel5   2780    750     7    468     22    660     39
hel6   3040    570    37    160     41    290    126