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% xmps9605.tex
%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\parindent      0.0cm
\parskip        0.1cm
%
\begin{document}
{\Large \textbf{G. Hunault} \hspace{6cm}}
\textit{Angers, mai 97}

{\Large DEUST Asepsie}\\[1.2cm]

\begin{center}
{\LARGE Examen de Probabilit\'{e}s et Statistiques }

\end{center}
\vskip 2.0cm
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\section{Calculs de distances}
%
Soit $X$ et $Y$ deux colonnes d'une base de donn\'{e}es. On suppose que
les valeurs de ces colonnes ne sont que des 0 ou des 1. On apelle
indice de $Kulczynski$ la valeur
%        d[6,x,y] = 1 - uu*((1/ux)+(1/uy))/2
$i(X,Y)=1 - \displaystyle \frac{e}{2}\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)$
o\`{u} $e$ d\'{e}signe le nombre de fois o\`{u} $X$ et $Y$ valent 1 en m\^{e}me temps,
$u$ est le nombre de 1 pour $X$ et
$v$ est le nombre de 1 pour $Y$.
\begin{enumerate}
\item[a)]
Calculer $i(X,X)$ et $i(X,Y)$ pour les
valeurs suivantes de $X$ et de $Y$~:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||l|l|l|l|l|}
\hline
$X$ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
$Y$ & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item[b)]
Donner les instructions $Dbase$ qui calculent $i(X,Y)$ si $X$ et $Y$
sont les champs d'une base de donn\'{e}es.
\item[c)]
La fonction $(x,y)\to i(x,y)$ est-elle une distance ?
\end{enumerate}
%
\section{Approximation d'effectifs}
%
Soit $x_i$ le nombre de minutes pass\'{e}es \`{a} attendre devant un guichet de banque
avant d'\^{e}tre servi(e). Selon l'O.N.B. (\textit{Office National des Banques}),
il est tr\`{e}s peu probable que ce temps d\'{e}passe 4 minutes (!)
et on assimile donc la valeur "4 minutes" \`{a} l'\'{e}v\`{e}nement "4 minutes ou plus".
\newpage
On fournit dans le tableau suivant le nombre $n_i$ de personnes ayant attendu
$x_i$ minutes.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &   0 &  1 &   2 &  3 &  4 \\ \hline
$n_i$ &  15 & 50 &  35 & 20 &  8 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Donner le nombre total de personnes et la moyenne et la varaince
du temps d'attente en minutes et secondes.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi binomiale.
\item Effectuer une approximation de ces effectifs par la loi de Poisson.
\item Conclure en comparant ces approximations.
\end{itemize}

On n'oubliera pas de d\'{e}tailler les calculs, de justifier les effectifs
th\'{e}oriques r\'{e}els et arrondis, de fournir le $\chi^2$ utilis\'{e}, le nombre de
degr\'{e}s de libert\'{e} \textit{etc.}
%
\section{Etude d'une base de donn\'{e}es}
%

Le dossier \textsf{BCZ} (\textit{Boeufs Charolais et Z\'{e}bus})
fournit les r\'{e}sultats d'une c\'{e}l\`{e}bre \'{e}tude zootechnique effectu\'{e}e
dans les ann\'{e}es 70. Il contient des mensurations
sur des  croisements entre  des boeufs charolais  et des  z\'{e}bus.
Vous trouverez les donn\'{e}es en annexe.

Effectuer une analyse statistique g\'{e}n\'{e}rale des colonnes.
Vous d\'{e}taillerez le type des variables, vous soignerez l'affichage
(dit "intelligent") des r\'{e}sultats. Pour les
variables quantitatives, vous essaierez de d\'{e}tecter les
liaisons lin\'{e}aires que vous
fournirez si $\rho$ est sup\'{e}rieur \`{a} 0.9 seulement.

Apr\`{e}s ces calculs, vous essaierez de commenter les valeurs
r\'{e}sum\'{e}es obtenues.
%
\section{Manipulations informatiques}% 1890-1962 soit 72 ans
%
En utilisant le fichier d'aide du logiciel "\textit{Le Probabiliste}",
donnez l'age auquel est mort Fisher, l'un des deux "p\`{e}res" de la
loi continue \textsf{F}.
%
\section{Valeurs d'une loi}
%
Soit $X$ la loi $3+0.4*{\mathcal{P}(1.23456)}$.
Donner les 5 premi\`{e}res valeurs de $X$ et la probabilit\'{e} de la
8-\`{e}me valeur \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. On pourra
utiliser $Excel$.
\newpage
%
\section{Etude d'une base de donn\'{e}es}
%
Dans  la  base  ELF,  on  ne s'int\'{e}resse qu'aux personnes de
moins de 50 ans et  ayant fait des \'{e}tudes sup\'{e}rieures  (code
ETUD le plus \'{e}lev\'{e}).
\begin{enumerate}

\item[a)] quelles  instructions Dbase  permettent de
construire la base ELFJS correspondante ?

\item[b)] pour cette  base ELFJS, donner  le tri \`{a}
plat des champs
SEXE et REGI~; on pr\'{e}sentera les r\'{e}sultats comme
convenus en cours.

\item[c)] toujours pour ELFJS, donner le tri crois\'{e} des
champs SEXE et PROF~; on  mettra PROF  en ligne  et SEXE  en colonne de
fa\c{c}on \`{a} obtenir un tableau \`{a} 3 colonnes.  Expliquer  comment
vous avez construit ce tableau.

\item[d)] on d\'{e}cide de coder l'age dans ELFJS en 2
classes :   code
1 pour les gens de moins de 30 ans, code 2 pour les  autres.
On nomme  CA le  champ correspondant.   Quelles instructions
Dbase faut-il \'{e}crire pour cr\'{e}er ce champ et le remplir ?
\end{enumerate}

%
\section{Etude d'une variable continue}
%
Soit $f:x\to ax^2+bx+c$ la densit\'{e} d'une variable al\'{e}atoire $X$
d\'{e}finie sur [1,3] telle $f(1)=f(3)=1/4$ comme le montre la figure
suivante.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%  # fichier asep9705.plt pour gnuplot
%    set terminal latex
%    set output   "xmda9705.txp"
%  # set title "Repr\'{e}sentation de $G$"
%    set sample   1500
%    set size 1/2.,4/6.
%    set nokey
%    set xrange   [0:4]
%    set yrange   [0:0.85]
%    set xtics ("1" 1,"3" 3)
%    set ytics ("0" 0,"1/4" 0.25,"1/2" 0.5,"3/4" 0.75,"1" 1)
%    p(x) = (-3*x*x+12*x-7)/8
%    f(x) = (x<1 ? 0 : (x>3 ? 0 : p(x) ) )
%    g(x) = 0.25
%    plot f(x) , g(x) with lines 4
%    set terminal windows
%  # replot
%  # pause -1  "Hit return to continue"
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\input{asep9705.txp}
\end{center}
%
D\'{e}terminer $a$, $b$ et $c$ puis donner la moyenne de $X$.
\newpage
\begin{center}
{\Large ANNEXE : donn\'{e}es de la base "BCZ"}
\end{center}

\begin{verbatim}




         IDEN  VIF CARC    PC   TOT TAL   GRA    OS

         CH01  395  224  35.1  79.1   1   6.0  14.9
         CH02  410  232  31.9  73.4   1   9.7  16.4
         CH03  405  233  30.7  76.5   0   7.5  16.5
         CH04  405  240  30.4  75.3   0   8.7  16.0
         CH05  390  217  31.9  76.5   0   7.8  15.7
         CH06  405  243  32.1  77.4   1   7.1  15.5
         CH07  390  229  32.1  78.4   0   4.6  17.0
         CH08  405  240  31.1  76.5   1   8.2  15.3
         CH09  420  234  32.4  76.0   1   7.2  16.8
         CH10  390  223  33.8  77.0   0   6.2  16.8
         CH11  415  247  30.7  75.5   1   8.4  16.1
         CH12  400  234  31.7  77.6   1   5.7  18.7
         ZE13  400  224  28.2  73.5   1  11.0  15.5
         ZE14  395  229  29.4  74.5   0   9.3  16.1
         ZE15  395  219  29.7  72.8   0   8.7  18.5
         ZE16  395  224  28.6  73.7   0   8.7  17.3
         ZE17  400  223  28.5  73.1   1   9.1  17.7
         ZE18  400  224  27.8  73.2   1  12.2  14.6
         ZE19  400  221  26.5  72.3   1  13.2  14.5
         ZE20  410  233  25.9  72.3   1  11.1  16.6
         ZE21  402  234  27.1  72.1   0  10.4  17.5
         ZE22  400  223  26.8  70.3   1  13.5  16.2
         ZE23  400  213  25.8  70.4   0  12.1  17.5

\end{verbatim}

\end{document}
