% cours10.tex (gH) : Transform\'{e}es et s\'{e}ries (Fourier...)
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{maple2e}
%
\parskip    0.35cm
\parindent  0.00cm
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\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}. }
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
%
\def\C{\mbox{l\hspace{-0.43em}C}}
\def\N{\mbox{l\hspace{-0.43em}N}}
\def\Maple{\textit{Maple}}
\def\L{\ensuremath{\mathcal{L}}}
\def\dz{\texttt{\symbol{'043}}}      % di\`{e}se
%
% pour une matrice 2x2
%
\newcommand{\mat}[4]{\ensuremath{%
\left(\begin{tabular}{cc}%
#1&#2\\#3&#4\\\end{tabular}\right)}
}% fin de definition de \mat
%
% pour simuler une entr\'{e}e (ligne) Maple
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\newcommand{\mapleIn}[1]{\textsf{
\begin{tabular}{ll}
 $ > $ &#1
\end{tabular}
}}
\newcommand{\exo}[1]{\textbf{Exercice #1 :}}
\newcommand{\sol}[1]{\textbf{Solution #1 :}}
%
% pour simuler une sortee (ligne) Maple
%
\newcommand{\mapleOut}[1]{\texttt{
\begin{tabular}{ll}
 \hspace{1.3cm} & #1
\end{tabular}
}}
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% une entr\'{e}e et une sortie pour Maple longue
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\newcommand{\mapleInt}[1]{\textsf{#1}}
\newcommand{\mapleOutLong}[1]{\texttt{#1}}
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% des macros "locales" au sujet
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\def\sl{$sl(2,\C)$}
\def\slm{\textit{sl}-matrix}
\def\slms{\textit{sl}-matrices}
\newcommand{\sym}[1]{$Sym^{#1}(\C^ 2)$}
%
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\begin{document}
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\title{Transform\'{e}es et s\'{e}ries induites}
\author{Gilles Hunault}
\date{Bergson, 1997}
\maketitle
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\section{Transform\'{e}es d'une fonction}
%
Soit $K$ une fonction de deux variables et $f$ une fonction d'une variable.
On appelle \textit{transform\'{e}e} de $f$ relative au \textit{noyau} $K$
la fonction $T_f$ d\'{e}finie par $T_f(x)=\displaystyle \int_a^b\ f(y)K(x,y)dy$
lorsque cette int\'{e}grale existe. Les transformations usuelles, leurs bornes et les fonction
$Maple$ correspondantes sont indiqu\'{e}es dans le tableau suivant

\begin{center}
\begin{tabular}%
{llcll}
$Nom$ & $K(x,y)$  & $a$ & $b$ & $Maple$    \\
\textsf{Fourier}  &   $e^{-ixy}$  & $-\infty$ & $+\infty$ & \textsf{fourier(\ f(x),x,y\ )} \\
\textsf{Laplace}  &   $e^{-xy}$   & $0$ & $+\infty$ & \textsf{laplace(\ f(x),x,y\ )} \\
\textsf{Mellin}   &   $y^{x-1}$   & $0$ & $+\infty$ & \textsf{mellin(\ f(x),x,y\ )} \\
\end{tabular}
\end{center}
%

On notera que la transformation de $Laplace$ poss\`{e}de une fonction r\'{e}ciproque
nomm\'{e}e \textsf{invlaplace} en $Maple$.

\exo{10.1} Donner la transform\'{e}e de $Laplace$ $g$ de $f$ o\`{u} $f(x)=x$
et la transform\'{e}e de $Fourier$ inverse $h$ de $g$.

\exo{10.2} Donner la transform\'{e}e de $Fourier$ $g$ de $f$ o\`{u}
$f(x)=e^{-x^2/2}$
%
\newpage
\section{S\'{e}ries de Fourier d'une fonction}
%
Soit $f$ une fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $[-L,+L]$ et \'{e}tendue
par p\'{e}riodicit\'{e} \`{a} $R$. On dit alors que $f$ est $2L$-\textit{ p\'{e}riodique}.
La s\'{e}rie de $Fourier$ de $f$ en $x$ est donn\'{e}e par
$$\displaystyle \frac{a_0}{2} +
\displaystyle \sum_n ( a_n.cos(\displaystyle \frac{n\pi x}{L})
+ b_n.sin(\displaystyle \frac{n\pi x}{L})\
)$$
o\`{u} les coefficients $a_n$ et $b_n$ sont d\'{e}finis respectivement par
$$a_n=(1/L)\displaystyle
\int_c^{c+2L}\ f(x).cos(\displaystyle \frac{n\pi x}{L}).dx$$
$$b_n=(1/L)\displaystyle
\int_c^{c+2L}\ f(x).sin(\displaystyle \frac{n\pi x}{L}).dx$$
pour une constante $c$ quelconque.

\exo{10.3} Donner la s\'{e}rie de $Fourier$ $g$ de $f$ o\`{u} $f(x)=sin(2x)$

\exo{10.4} Donner la transform\'{e}e de $Fourier$ $g$ de $f$ o\`{u} $f(x)=x^2$
pour $x\in [0,2\pi]$.

\exo{10.5} Donner la transform\'{e}e de $Fourier$ $g$ de $f$ o\`{u} $f(x)=x$
pour $x\in [0,2]$.
%

\exo{10.6} On appelle identit\'{e} de $Parseval$ la relation
$$\displaystyle \int_{-L}^{+L}\ {f(x)}^2\ = L.(\ \frac{a_0^2}{2}
+ \displaystyle \sum (a_n^2 + b_n^2)\ )$$

Appliquer l'identit\'{e} de $Parseval$ \`{a} la fonction de l'exercice
$10.5$ pour en d\'{e}duire $\displaystyle \sum \displaystyle \frac{1}{n^4}$.
%
\newpage
\section{Transform\'{e}e de Fourier discr\`{e}te}
%
Si $[x_0,x_1,...x_{N-1}]$ est une liste de $N$ valeurs, sa transform\'{e}e
de $Fourier$ discr\`{e}te est la liste de valeurs $[y_0,y_1,...y_{N-1}]$ avec
$$y_j=\displaystyle \sum_{j=0}^{N-1}x_j.exp^{-2\pi ijk/N}$$

\exo{10.7} Calculer la transform\'{e}e de $Fourier$ discr\`{e}te de la liste de
8 points $[-1,-1,-1,-1,+1,+1,+1,+1]$.

Une application classique de la T.F.D. est le lissage de courbes que nous
pr\'{e}sentons sur un exemple guid\'{e}.
\begin{enumerate}
\item cr\'{e}er $2^8$ valeurs complexes pour $k$ de 1 \`{a} $2^8$ gr\^{a}ce aux expressions
$x_k=sin(0.0625*k)+random()/10$
$y_k=0$
apr\`{e}s avoir charg\'{e} le g\'{e}n\'{e}rateur $random$ du package $stats$.
\item utiliser $zip$ et le tableau  pour tracer ces valeurs~; on utilisera
un $plot$ en "style=POINT".
\item utiliser le noyau $t\to e^{-100.t/256}$ pour lisser les points
\item calculer les transform\'{e}es de $Fourier$ des donn\'{e}es et du noyau
sous forme de tableaux de nombres complexes.
\item calculer enfin les transform\'{e}es de $Fourier$ inverse du produit
des donn\'{e}es par le noyau. tracer les valeurs obtenues.
\item que remarquez-vous ?
\end{enumerate}
%
\newpage
%
\section{Solutions}
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\sol{10.1}

On d\'{e}finit $f$ par \textsf{f := x $\to$ x} et sa transform\'{e}e de $Laplace$
$g$ est donn\'{e}e par \textsf{g := y $\to$ inttrans[laplace](f(x),x,y)}.
En $y$ elle vaut donc \textsf{g(y)} soit $1/y^20$. La transform\'{e}e
inverse de $Laplace$ de $g$ en $x$ est fournie par
\textsf{inttrans[invlaplace](g(y),y,x)} et elle vaut $x$
ce qui redonne bien $f(x)$.

\sol{10.2}

On d\'{e}finit $f$ par \textsf{f := x $\to$ exp(-x*x/2) } et sa transform\'{e}e de $Fourier$
en $y$ est donn\'{e}e par \textsf{inttrans[fourier](f(x),x,y)} soit
$\sqrt{2\pi}\displaystyle. e^{-y^2/2}$.

\sol{10.6}

Remarquons que $Maple$ connait $\displaystyle \sum_{k=1}^n\ 1/k^4$
puisqu'il \'{e}value \textsf{sum(1/k**4,k=1..n)} en
$\pi^4/90 - \Psi(3,n+1)/6$ et qu'il en d\'{e}duit donc $\displaystyle \sum_{n}\ 1/n^4$
comme \'{e}tant \textsf{sum(1/k**4,k=1..infinity)} soit $\pi^4/90$.

Pour $Maple$, $\Psi$ est la fonction "digamma" d\'{e}finie par
$\Psi(x) = \Gamma'(x)/\Gamma(x)$ et
$\Psi(n,x)$ est la $n$-i\`{e}me fonction "polygamma",
c'est \`{a} dire la $n$-i\`{e}me d\'{e}riv\'{e}e de la fonction digamma~:~
$\Psi(0,x) = \Psi(x)$ et $\Psi(n,x) = \Psi^{(n)}(x)$.

%
\end{document}
