Suites Unilinéairement Récurentes (gH)

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1. Définitions

Une suite de valeurs un est dite unilinéairement récurente de type (N,P) s'il existe un entier N nommé seuil, un entier P nommé ordre et P coefficients a1,a2...aP tels que n > N implique que un est la combinaison linéaire des ak avec les P termes précédents :

un = a1un-1+ a2un-2+ ... aPun-P

soit, en termes de formules mathématiques

Si N=P on dit que (un) est immédiatement unilinéairement récurente.

Si N>P on dit que (un) est ultimement unilinéairement récurente.

Remarque : Si N est plus petit que P, un) est incomplétement définie et ses différents termes ne peuvent pas être calculés.

On notera [I # C] une suite unilinéairement récurente où I est la liste des valeurs initiales et C la liste des coefficients.

Une suite de valeurs (un) est dite issue d'un système L s'il existe un vecteurs d'entiers G de longueur S et une matrice d'entiers M avec S lignes et S colonnes tels que pour tout n, un= G.Mn.D uù D est le vecteur d'entier constant ne contenant que des 1. On note [ G ; M ] une telle suite.

Remarque : Il arrive que M soit donnée sous forme d'une liste ; on conviendra qu'il s'agit de la liste de ses lignes.

2. Exemples

  • La suite [ 1 2 3 # 2 ] est définie par u1 = 1, u2 = 2, u3 = 3 et un = 2.un-1 pour tout n plus grand que 3.

    Ses premières valeurs sont 1,2,3,6,12,24,48... soit en général un=3.2n-3 si n > 3.

    C'est une suite ultimement unilinéairement récurente.

  • La suite issue du système L [ (2,3) ; (5 0 0 7) ] a pour premières valeurs 5,31,197,12798453.

    Son expression générale est un=2.5n+3.7n.

    C'est une suite immédiatement unilinéairement récurente.

  • La classique suite de Fibonacci définie par u1 = 1, u2 = 2, un = un-1+un-2 peut être vue comme [ 1 2 # 1 1] ou comme [ 1 0 ; 1 1 1 0 ].

    Ses premières valeurs sont 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.

    C'est une suite immédiatement unilinéairement récurente.

    Gilles HUNAULT - gilles.hunault@univ-angers.fr